Question

【题目】如图1，在正方形ABCD中，P是对角线BD上的一点，点E在AD的延长线上，且PA=PE，PE交CD于F．

（1）PC=PE；

（2）求∠CPE的度数；

（3）如图2，把正方形ABCD改为菱形ABCD，其他条件不变，当∠ABC=120°时，连接CE，试探究线段AP与线段CE的数量关系，并说明理由．

Answer 1

【答案】（1）证明见试题解析；（2）90°；（3）AP=CE．

【解析】

试题分析：（1）先证出△ABP≌△CBP，得到PA=PC，由PA=PE，得到PC=PE；

（2）由△ABP≌△CBP，得到∠BAP=∠BCP，进而得到∠DAP=∠DCP，由PA=PC，得到∠DAP=∠E，∠DCP=∠E，最后∠CPF=∠EDF=90°得到结论；

（3）借助（1）和（2）的证明方法容易证明结论．

试题解析：（1）在正方形ABCD中，AB=BC，∠ABP=∠CBP=45°，在△ABP和△CBP中，∵AB=BC，∠ABP=∠CBP，PB=PB，∴△ABP≌△CBP（SAS），∴PA=PC，∵PA=PE，∴PC=PE；

（2）由（1）知，△ABP≌△CBP，∴∠BAP=∠BCP，∴∠DAP=∠DCP，∵PA=PC，∴∠DAP=∠E，∴∠DCP=∠E，∵∠CFP=∠EFD（对顶角相等），∴180°﹣∠PFC﹣∠PCF=180°﹣∠DFE﹣∠E，即∠CPF=∠EDF=90°；

（3）在正方形ABCD中，AB=BC，∠ABP=∠CBP=45°，在△ABP和△CBP中，∵AB=BC，∠ABP=∠CBP，PB=PB，∴△ABP≌△CBP（SAS），∴PA=PC，∠BAP=∠BCP，∵PA=PE，∴PC=PE，∴∠DAP=∠DCP，∵PA=PC，∴∠DAP=∠E，∴∠DCP=∠E，∵∠CFP=∠EFD（对顶角相等），∴180°﹣∠PFC﹣∠PCF=180°﹣∠DFE﹣∠E，即∠CPF=∠EDF=180°﹣∠ADC=180°﹣120°=60°，∴△EPC是等边三角形，∴PC=CE，∴AP=CE．