Question

己知：如图，△ABC内接于⊙O，AB为直径，∠CBA的平分线交AC干点F，交⊙O于点D，DE⊥AB于点E，且交AC于点P，连结AD。

（1）求证：∠DAC=∠DBA；
（2）求证：P处线段AF的中点；
（3）若⊙O的半径为5，AF=，求tan∠ABF的值。

Answer 1

解：（1）∵BD平分∠CBA，
∴∠CBD=∠DBA，
∵∠DAC与∠CBD都是所对的圆周角，
∴∠DAC=∠CBD，
∴∠DAC=∠DBA；
（2）∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
又∵DE⊥AB于点E，
∴∠DEB=90°，
∴∠ADE+∠EDB=∠ABD+∠EDB=90°，
∴∠ADE=∠ABD=∠DAP，
∴PD=PA，
又∵∠DFA+∠DAC=∠ADE+∠PDF=90°且∠ADE=∠DAC，
∴∠PDF=∠PFD，
∴PD=PF，
∴PA=PF即P是线段AF的中点；
（3）∵∠DAF=∠DBA,∠ADB=∠FDA=90°，
∴△FDA∽△ADB，
∴，
在Rt△ABD中，tan∠ABD=，即tan∠ABD=。