题目内容

如图，已知抛物线y=ax²+bx+c与x轴相交于A、B，点B的坐标为（10，0），顶点M的坐标为（4，8），点P从点M出发，以每秒1个单位的速度沿线段MA向A点运动；点Q从点A出发，以每秒2个单位的速度沿AB向B点运动，若P、Q同时出发，当其中的一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t秒钟．
（1）求抛物线的解析式；
（2）设△APQ的面积为S，求S与t之间的函数关系式，△APQ的面积是否有最大值？若有，请求出其最大值；若没有，请说明理由；
（3）当t为何值时，△APQ为等腰三角形？

解：（1）设抛物线的解析式为y=a（x-4）²+8，把B（10，0）代入得，
36a+8=0，解得a= $\text{[math]}$ ，
∴抛物线的解析式为 $\text{[math]}$ ；

（2）由抛物线的对称性可知点A的坐标为（-2，0），过M作MC⊥x轴于点C，过P作⊥x轴于点H，则AC=6，MC=8，AM=10，

∵△PAH∽△MAC得， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，解得 $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ （0≤t≤6），
∵ $\text{[math]}$ ＜0，
∴s有最大值，当t=- $\text{[math]}$ =5时，s有最大值为20；

（3）由（2）得AP=10-t，PH=8- $\text{[math]}$ t，AQ=2t，
由△PAH∽△MAC得AH：AC=AP：AM，即AH：6=（10-t）：10，AH= $\text{[math]}$ （10-t），
∴QH=2t-AH= $\text{[math]}$ t-6，PQ= $\text{[math]}$ ，
当AP=AQ时，t= $\text{[math]}$ ；
当AP=PQ时， $\text{[math]}$ ；
当AQ=PQ时， $\text{[math]}$ ．
分析：（1）设抛物线的解析式为y=a（x-4）²+8，把B（10，0）代入得，求得a的值，即得到抛物线的解析式；
（2）先根据抛物线的对称性得到A的坐标为（-2，0），过M作MC⊥x轴于点C，过P作⊥x轴于点H，则AC=6，MC=8，AM=10，
利用△PAH∽△MAC，得到 $\text{[math]}$ ，所以 $\text{[math]}$ （0≤t≤6），利用二次函数的最大值问题即可得到当t=5时，s有最大值为20．
（3）分类讨论：当AP=AQ时，t= $\text{[math]}$ ；当AP=PQ时， $\text{[math]}$ ；当AQ=PQ时， $\text{[math]}$ ．
点评：本题考查了抛物线的顶点式和抛物线的对称性；也考查了三角形相似的判定与性质和三角形的面积公式以及分类讨论思想的运用．