Question

20．阅读解答：
（1）填空：2¹-2⁰=1=2^（0）
2²-2¹=2=2^（1）
2³-2²=4=2^（2）…
（2）探索（1）中式子的规律，试写出第n个等式，并说明第n个等式成立；
（3）计算：2⁰+2¹+2²+2³+…+2²⁰¹⁴+2²⁰¹⁵．

Answer 1

分析 （1）根据幂的运算方法，可得2¹-2⁰=2-1=1=2⁰，2²-2¹=4-2=2=2¹，2³-2²=8-4=4=2²，据此解答即可；
（2）根据（1）中式子的规律，可得2ⁿ-2^n-1=2^n-1；然后根据幂的运算方法，证明第n个等式成立即可；
（3）设题中所给的表达式为s，再根据同底数幂的乘法法求出2S的表达式，再把两式相减即可求出原式S的值．

解答 解：（1）2¹-2⁰=2-1=1=2⁰，2²-2¹=4-2=2=2¹，2³-2²=8-4=4=2²，
故答案为：1，0，2，1，4，2；

（2）∵2¹-2⁰=2⁰，2²-2¹=2¹，2³-2²=2²，
∴2ⁿ-2^n-1=2^n-1；
证明：∵2ⁿ-2^n-1=2×2^n-1-2^n-1=2^n-1×（2-1）=2^n-1，
∴2ⁿ-2^n-1=2^n-1成立；

（3）设s=1+2+2²+…+2²⁰¹⁵ ①，
∴2s=2+2²+2³+…+2²⁰¹⁶ ②，
由②-①：s=2²⁰¹⁶-1．

点评 此题主要考查了探寻数列规律问题，认真观察、仔细思考，善用联想是解决这类问题的方法，注意观察总结规律，并能正确的应用规律，解答此题的关键是判断出：2ⁿ-2^n-1=2^n-1成立．