Question

【题目】某数学活动小组在研究三角形拓展图形的性质时，经历了如下过程：

●操作发现

在等腰△ABC中，AB＝AC，分别以AB和AC为腰，向△ABC的外侧作等腰直角三角形，如图①所示，连接DE，其中F是DE的中点，连接AF，则下列结论正确的是　 　（填序号即可）

①AF＝BC：②AF⊥BC；③整个图形是轴对称图形；④DE∥BC、

●数学思考

在任意△ABC中，分别以AB和AC为腰，向△ABC的外侧作等腰直角三角形，如图②所示，连接DE，其中F是DE的中点，连接AF，则AF和BC有怎样的数量和位置关系？请给出证明过程

●类比探索

在任意△ABC中，仍分别以AB和AC为腰，向△ABC的内侧作等腰直角三角形，如图③所示，连接DE，其中F是DE的中点，连接AF，试判断AF和BC的数量和位置关系是否发生改变？并说明理由．

Answer 1

【答案】操作发现：①②③④；数学思考：AF＝BC，AF⊥BC，理由见解析；类比探索：AF和BC的数量和位置关系不发生改变，理由见解析

【解析】

操作发现：

如图1，延长FA交BC于G，连接BF、CF．证明△FBA≌△FCA（SAS），得FB=FC，根据线段垂直平分线的逆定理可得FG是BC的垂直平分线，得②正确；

证明∠AFD≌△BGA（AAS），则AF=BGBC，得①正确；

根据内错角相等两直线平行，得④正确；

根据前面的证明可以得出整个图形是轴对称图形，故③正确，数学思考：

结论：AFBC，AF⊥BC，如图2，作辅助线，构建平行四边形和三角形全等，证明四边形DAEM是平行四边形，得AD=EM=AB，AD∥EM，再证明△CAB≌△AEM（SAS），可得结论；

类比探索：

同理作辅助线，构建平行四边形和全等三角形，同理可得结论．

操作发现：

如图1，延长FA交BC于G．

∵△ABD和△ACE是等腰直角三角形，且∠BAD=∠CAE=90°，∴AB=AD，AC=AE．

∵AB=AC，∴AD=AE．

∵F是DE的中点，∴AF⊥DE，∠DAF=∠EAF，∴∠BAF=∠CAF．

∵AB=AC，AF=AF，∴△FBA≌△FCA（SAS），∴FB=FC，∴FG是BC的垂直平分线，即FG⊥BC，AF⊥BC，故②正确；

∵∠AGB=∠AFD=90°，∠BAG=∠FDA，∴∠AFD≌△BGA（AAS），∴AF=BGBC，故①正确；

∵∠AFD=∠AGC=90°，∴DE∥BC，故④正确；

根据前面的证明可以得出将图形1，沿FG对折左右两部分能完全重合，∴整个图形是轴对称图形，故③正确，结论正确的有：①②③④．

故答案为：①②③④；

数学思考：

结论：AFBC，AF⊥BC，理由是：

如图2，延长AF至M，使FM=AF，连接DM、EM，延长FA交BC于G．

∵DF=EF，∴四边形DAEM是平行四边形，∴AD=EM=AB，AD∥EM，∴∠DAE+∠AEM=∠DAE+∠BAC=180°，∴∠BAC=∠AEM．

∵AC=AE，∴△CAB≌△AEM（SAS），∴AM=BC=2AF，∠AME=∠CBA，即AFBC．

∵AD∥EM，∴∠DAM=∠AME=∠CBA．

∵∠BAD=90°，∴∠DAM+∠BAG=90°，∴∠CBA+∠BAG=∠AGB=90°，∴AF⊥BC；

类比探索：

AF和BC的数量和位置关系不发生改变，理由是：

如图3，延长AF至M，使AF=FM，连接EM、DM，设AF交BC于N．

∵EF=DF，∴四边形AEMD是平行四边形，∴AE=DM=AC．

∵∠BAD+∠EAC=180°，∴∠BAC+∠EAD=180°．

∵AE∥DM，∴∠ADM+∠EAD=180°，∴∠ADM=∠BAC．

∵AB=AD，∴△ABC≌△DAM（SAS），∴AM=BC=2AF，∠DAM=∠ABC，∴AFBC．

∵∠DAM+∠BAF=∠ABC+∠BAF=90°，∴∠ANB=90°，∴AF⊥BC．