Question

【题目】如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=2.动点P以每秒2个单位长度的速度从点A出发,沿A→C→B的方向向终点B运动(点P不与△ABC的顶点重合).点P关于点C的对称点为点D,过点P作PQ⊥AB于点Q,以PD、PQ为边作□PDEQ.设□PDEQ与△ABC.重叠部分的面积为S,点P的运动时间为t(s)

(1)当点P在AC上运动时,用含t的代数式表示PD的长;

(2)当点E落在△ABC的直角边上时,求t的值;

(3)当□PDEQ与△ABC重叠部分的图形是四边形时,求S与t之间的函数关系式.

Answer 1

【答案】（1）4-4t；（2）或；（3）

【解析】

（1）由题意得AP=2t，得到PC=2-2t，再根据对称性即可求解；

（2）根据题意作图分情况讨论，利用三角函数及三角形的关系即可列式求解；

（3）根据题意分情况讨论，利用割补法即可求解.

（1）∵AC=2,由题意得AP=2t，

∴PC=2-2t，

∵P、D关于C对称，

∴PD=2PC=4-4t;

（2）如图①，当P在BC边上时，PC=2t-2，∴PD=4t-4，

∵四边形PDEQ为平行四边形，

∴QE=PD=4t-4,QE∥PD，

∵∠ACB=90°，AC=BC=2,

∴∠A=∠B=45°，∠QEA=90°，

∴AQ==（4t-4）

∵BC=2,∴BP=4-2t,

∴QB=BP·cos45°=（2-t）

∵AB=

∴AQ+QB=（4t-4）+（2-t）=2

解得t=；

如图②，当P在AD边上时，由（1）得PD=4-4t，

∴QE=PD=4-4t,

∵∠B=45°，

QB=（4-4t）

∵AP=2t，

∴AQ=t,

∵AB=2

∴t+（4-4t）=2

解得t=；

综上，t=或；

（3）如图③，由（2）得当，P在BC上时，设QE与AC交于M，

∵PC=2t-2，

∴BP=2-(2t-2)=4-2t，

∴BQ=（2-t）

∴AQ=AB-QB=2-（2-t）=t

∴AM=AQ·cos45°=t,

∴S△AMQ=，S△BQP=BQ×QP=4-4t+,

∴S四边形QMCP= S△ACB- S△AMQ- S△BQP=；

如图④，当时，P在AC上时，设QE与BC交于M，

∵AQ=t

∴BQ=2-t

∴BM=BQ·cos45°=2-t,

∴S△QMB=，S△AQP=,

∴S四边形QMCP= S△ACB- S△QMB- S△AQP=

综上，，