Question

如图所示，在△ABC中，点D、E在边BC上∠CAE=∠B，E是CD的中点，BD=AD，且AD平分∠BAE．

①当∠BAC=90°时，求证BD=AC；

②当∠BAC≠90°时，是否依然有BD=AC？说明理由．

Answer 1

答案：
解析：

证明：①∵在△ABC中，∠BAC=180°－∠B－∠C， 在△ACE中，∠AEC=180°－∠CAE－∠C， 又∵∠CAE=∠B， ∴∠AEC=∠BAC=90°， ∴AE⊥CD． 在△ACE和△ADE中， ∴△ACE≌△ADE(SAS)． ∴AC=AD． 又∵AD=BD，∴BD=AC． ②BD=AC仍然成立． 延长AE到点F，使EF=AE，连接DF． 在△ACE和△FDE中， ∴△ACE≌△FDE(SAS)． ∴AC=DF，∠CAE=∠F， 又∵∠CAF=∠B，所以∠F=∠B， 在△ADF和△ADB中， ∴△ADF≌△ADB(AAS)． ∴BD=DF，∴AC=BD．

提示：

①欲证BD=AC，题目中已有BD=AD，故只须证AD=AC，从而证明△ADE≌△ACE即可．