Question

已知∠MAN，AC平分∠MAN。

（1）在图1中，若∠MAN=120º，∠ABC=∠ADC=90º，求证AB+AD=AC；

（2）在图2中，若∠MAN=120º，∠ABC+∠ADC=180º，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明，若不成立，请说明理由；

（3）在图3中

①若∠MAN=60º，∠ABC+∠ADC=180º，则AB+AD=     AC；

②若∠MAN=α（0⁰<α<180º）,∠ABC+∠ADC=180º，则AB+AD=     AC（用含的三角函数表示），并给出证明。

Answer 1

解：（1）证明：∵AC平分∠MAN，∠MAN=120º，

∴∠CAB=∠CAD=60º，

∵∠ABC=∠ADC=90º，

∴∠ACB=∠ACD=30º 

∴AB=AD=AC             

∴AB+AD=AC          

（2）成立。 

证法一：如图，过点C分别做AM、AN的垂线，垂足分别为E、F。

              ∵AC平分∠MAN，∴CE=CF，

              ∵∠ABC+∠ADC=180º，∠ADC+∠CDE=180º，

              ∴∠CDE=∠ABC，                          

              ∵∠CED=∠CFB=90º，

              ∴△CED≌△CFB，∴ED=FB。       

              ∴AB+AD=AF+BF+AE－ED=AF+AE。

              由（1）知，AF+AE=AC，

              ∴AB+AD=AC。                 

证法二：如图，在AN上截取AG=AC，连接CG

              ∵∠CAB=60º，AG=AC，

              ∴∠AGC=60º，CG=AC=AG。          

              ∵∠ABC+∠ADC=180º，∠ABC+∠CBG=180º，

              ∴∠CBG=∠ADC，

              ∴△CBG≌△CDA，                 

              ∴BG=AD，

              ∴AB+AD=AB+BG=AG=AC。                  

（3）①，                   

        ②。                   

证明：由（2）知，ED=BF，AE=AF

在Rt△AFC中，，即，

∴。          

。