Question

（1）如图1：在△ABC中，AB=AC，当∠ABD=∠ACD=60°时，猜想AB与BD+CD数量关系，请直接写出结果______；
（2）如图2：在△ABC中，AB=AC，当∠ABD=∠ACD=45°时，猜想AB与BD+CD数量关系并证明你的结论；
（3）如图3：在△ABC中，AB=AC，当∠ABD=∠ACD=β（20°≤β≤70°）时，直接写出AB与BD+CD数量关系（用含β的式子表示）．

Answer 1

【答案】分析：（1）延长BD至E，使BE=AB，连接AE、CE，然后证明△ABE是等边三角形，根据等边三角形的性质可得AE=AB，∠AEB=60°，然后证明∠DCE=∠DEC，根据等角对等边的性质可得DE=CD，从而得到BE=BD+CD，再根据等边三角形的三条边都相等得解；
（2）过点A作AE⊥AB交BD的延长线于点E，连接CE，然后证明△ABE是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得AB=AE，∠AEB=45°，然后证明∠DCE=∠DEC，根据等角对等边的性质可得DE=CD，从而得到BE=BD+CD，再根据等腰直角三角形斜边与直角边的关系得解；
（3）过点A作AF⊥BD于点F，延长BD到E，使EF=BF，连接AE、CE，根据等腰三角形三线合一的性质可得AB=AE，然后证明∠DCE=∠DEC，根据等角对等边的性质可得DE=CD，从而得到BE=BD+CD，再根据∠ABD的余弦等于邻边比斜边列式整理即可得解．
解答：解：（1）如图1，延长BD至E，使BE=AB，连接AE、CE，
∵∠ABD=60°，
∴△ABE是等边三角形，
∴AE=AB，∠AEB=60°，
∵AB=AC，
∴AC=AE，
∴∠ACE=∠AEC，
∵∠ACD=60°，
∴∠ACE-∠ACD=∠AEC-∠AEB，
即∠DCE=∠DEC，
∴DE=CD，
∴BE=BD+DE=BD+CD，
∴AB=BD+CD；
故答案为：AB=BD+CD；

（2）猜想：AB=（BD+CD）．
理由如下：如图2，过点A作AE⊥AB交BD的延长线于点E，连接CE，
∵∠ABD=45°，
∴△ABE是等腰直角三角形，
∴AE=AB，∠AEB=45°，
∵AB=AC，
∴AC=AE，
∴∠ACE=∠AEC，
∵∠ACD=45°，
∴∠ACE-∠ACD=∠AEC-∠AEB，
即∠DCE=∠DEC，
∴DE=CD，
∴BE=BD+DE=BD+CD，
在Rt△ABE中，AB=BE•cos∠ABD=（BD+CD）•cos45°=（BD+CD），
即AB=（BD+CD）；

（3）如图3，过点A作AF⊥BD于点F，延长BD到E，使EF=BF，连接AE、CE，
则AE=AB（等腰三角形三线合一），
∴∠AEB=∠ABD=β，
∵AB=AC，
∴AC=AE，
∴∠ACE=∠AEC，
∵∠ACD=β，
∴∠ACE-∠ACD=∠AEC-∠AEB，
即∠DCE=∠DEC，
∴DE=CD，
∴BE=BD+DE=BD+CD，
在Rt△ABF中，AB•cos∠ABD=BE，
即AB•cosβ=（BD+CD）．
点评：本题考查了等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，根据角度的不同，作辅助线构造出等腰△ACE，把BD+CD转化为BE是解题的关键，也是本题的难点．