Question

如图，在矩形ABCD中，点E对角线是BD上一点，作∠CEF=∠CBD，过点C作CF⊥CE交EF于F，连接DF．求证：
（1）

CE

CB

=

CF

CD

；
（2）BD⊥DF．

Answer 1

分析：（1）根据题干条件可知∠CEF=∠CBD，∠BCD=∠ECF=90°，于是可以证得△BCD∽△ECF，即可证得

CE

CB

=

CF

CD

，（2）设EF和CD的交点为O，根据△BCD∽△ECF，求得∠BDC=∠EFC，又知∠DOE=∠COF，即可证明△DOE∽△COF，于是可得

OE

OC

=

OD

OF

，进而得到

OE

OD

=

OC

OF

，又知∠DOF=∠EOC，所以证得△ECO∽△DOF，然后得到∠CFO=∠CDF，最后求得∠BDF=90°．

解答：证明：（1）∵过点C作CF⊥CE交EF于F，
∴∠ECF=90°，
∵∠CEF=∠CBD，∠BCD=90°，
∴△BCD∽△ECF，
∴

CE

CB

=

CF

CD

，

（2）设EF和CD的交点为O，
∵△BCD∽△ECF，
∴∠BDC=∠EFC，
∵∠DOE=∠COF，
∴△DOE∽△COF，
∴

OE

OC

=

OD

OF

，
∴

OE

OD

=

OC

OF

，
∵∠DOF=∠EOC，
∴△ECO∽△DOF，
∴∠CFO=∠CDF，
∴∠EDC+∠CDF=∠BDC+∠DBC=90°，
∴∠BDF=90°，
∴BD⊥DF．

点评：本题主要考查相似三角形的判定与性质和矩形的性质的知识点，解答本题的关键是熟练掌握相似三角形的判定和性质定理，本题稍微有点难度．