Question

如图，△ABC中，BP、CP分别是∠ABC与∠ACB的平分线，BP、CP交△ABC内一点P．
（1）当∠A=50°时，求∠P的度数；
（2）当∠1=

1

2

∠ABC，∠2=

1

2

∠ACB时，你能说明∠P=90°+

1

2

∠A成立吗？
（3）当∠1=

1

3

∠ABC；∠2=

1

3

∠ACB时，猜猜看：∠P与∠A又是什么关系？请说明理由；
（4）当∠1=

1

n

∠ABC，∠2=

1

n

∠ACB时，再猜猜，∠P与∠A又是什么关系？请直接写出∠P与∠A的关系式是：

 

．

Answer 1

分析：（1）由已知BP、CP分别是∠ABC与∠ACB的平分线，可推出∠P=180°-∠1-∠2=180°-

1

2

（∠ABC+∠ACB）=180°-

1

2

（180°-∠A）=90°+

1

2

∠A；
（2）成立；证明方法同（1）；
（3）当∠1=

1

3

∠ABC；∠2=

1

3

∠ACB时，∠P=180°-∠1-∠2=180°-

1

3

（∠ABC+∠ACB）=180°-

1

3

（180°-∠A）=120°+

1

3

∠A；
（4）当∠1=

1

n

∠ABC，∠2=

1

n

∠ACB时，仿照（3）的分析，直接得出结论．

解答：解：（1）∵BP、CP分别是∠ABC与∠ACB的平分线，
∴∠P=180°-∠1-∠2
=180°-

1

2

（∠ABC+∠ACB）
=180°-

1

2

（180°-∠A）=90°+

1

2

∠A=115°；

（2）成立；
理由：∠P=180°-∠1-∠2
=180°-

1

2

（∠ABC+∠ACB）
=180°-

1

2

（180°-∠A）=90°+

1

2

∠A；

（3）由三角形内角和定理，得
∠P=180°-∠1-∠2
=180°-

1

3

（∠ABC+∠ACB）
=180°-

1

3

（180°-∠A）；

（4）∠P=180°-

1

n

（180°-∠A）．

点评：本题考查了三角形内角和定理的灵活运用能力．