Question

如图，已知二次函数y= -x²+bx+3的图象与x轴的一个交点为A(4,0)，与y轴交于点B.

1.求此二次函数关系式和点B的坐标；

2.在x轴的正半轴上是否存在点P，使得△PAB是以AB为底的等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

【解析】

3.把点A的坐标代入二次函数，求出b的值，确定二次函数关系式，把x=0代入二次函数求出点B的坐标．

4.分情况讨论，①当BP=AP时，②当AB=AP时，分别求出即可得出答案．

 

Answer 1

 -x²+bx+3的图象与x轴的一个交点为A(4,0)，

∴0=-4²+4b+3，

解得b=，

∴此二次函数关系式为：y= -x²+x+3，

点B的坐标为B(0,3).

4.在x轴的正半轴上是否存在点P(,0)，使得△PAB是以AB为底的等腰三角形.理由如下：

设点P(x，0)，x＞0，则根据下图和已知条件可得

x²+ 3²=(4- x)²，

解得x=，

∴点P的坐标为P(,0).

即，在x轴的正半轴上是否存在点P(,0)，使得△PAB是以AB为底的等腰三角形.