Question

在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，点E在直角边AC上（点E与A、C两点均不重合），点F在斜边AB上（点F与A、B两点均不重合）．
（1）若EF平分Rt△ABC的周长，设AE长为x，试用含x的代数式表示△AEF的面积；
（2）是否存在线段EF将Rt△ABC的周长和面积同时平分？若存在，求出此时AE的长；若不存在，说明理由．

Answer 1

解：（1）∵∠C=90°，AC=3，BC=4，
∴AB=5，
∵EF平分Rt△ABC的周长，AE长为x，
∴AF=-x=6-x，
过F作FD⊥AC于点D，则有Rt△ADF∽Rt△ACB，根据对应边的比相等，可以得到：
FD=（6-x）
则S_△AEF=-x²+x（1＜x＜3）

（2）当S_△AEF=3时
解之得x₁=，x₂=
∵1＜x＜3
∴x₂=（舍去）
当x=时，6-x=＜5
∴这样的EF存在．
分析：（1）过F作FD⊥AC于点D，则Rt△ADF∽Rt△ACB．根据对应边的比相等，可以用含x的代数式表示出DF，根据三角形的面积公式就可以得到函数解析式．
（2）三角形ACB的面积可以求出，线段EF将Rt△ABC的面积平分，就可以得到一个关于x的方程，解方程，就可以求出X的值．
点评：本题是函数与相似形的性质相结合的题目．主要利用了相似三角形的性质，对应边的比相等．