题目内容
如图，∠C=90°，点A、B在∠C的两边上，CA=30，CB=20，连接AB．点P从点B出发，以每秒4个单位长度的速度沿BC的方向运动，到点C停止．当点P与B、C两点不重合时，作PD⊥BC交AB于点D，作
DE⊥AC于点E．F为射线CB上一点，使得∠CEF=∠ABC．设点P运动的时间为x秒．
（1）用含有x的代数式表示CE的长．
（2）求点F与点B重合时x的值．
（3）当点F在线段CB上时，设四边形DECP与四边形DEFB重叠部分图形的面积为y（平方单位）．求y与x之间的函数关系式．
DE⊥AC于点E．F为射线CB上一点，使得∠CEF=∠ABC．设点P运动的时间为x秒．（1）用含有x的代数式表示CE的长．
（2）求点F与点B重合时x的值．
（3）当点F在线段CB上时，设四边形DECP与四边形DEFB重叠部分图形的面积为y（平方单位）．求y与x之间的函数关系式．
分析：（1）证出△DBP∽△ABC得到
=
，即利用相似三角形的性质得到PD与x的关系；
（2）证出△CEF∽△CBA得到
=
，利用相似三角形的性质得到CF与x的关系，又知CF=CB，据此求出x的值；
（3）由于图①中重叠部分为梯形，根据梯形面积公式建立起y和x的函数关系式；由于图②中重叠部分为三角形，根据三角形面积公式建立起y和x的函数关系式．
| PD |
| CA |
| PB |
| CB |
（2）证出△CEF∽△CBA得到
| CF |
| CA |
| CE |
| CB |
（3）由于图①中重叠部分为梯形，根据梯形面积公式建立起y和x的函数关系式；由于图②中重叠部分为三角形，根据三角形面积公式建立起y和x的函数关系式．
解答：
解：（1）∵∠C=90°，PD⊥BC，
∴DP∥AC，
∴△DBP∽△ABC，四边形PDEC为矩形，
∴
=
，CE=PD．
∴PD=
=
=6x．
∴CE=6x；
（2）∵∠CEF=∠ABC，∠C为公共角，
∴△CEF∽△CBA，
∴
=
．
∴CF=
=
=9x．
当点F与点B重合时，CF=CB，9x=20．
解得x=
．
（3）当点F与点P重合时，BP+CF=CB，4x+9x=20，
解得x=
．
当0＜x＜
时，如图①，
=-51x2+120x．
当
≤x≤
时，如图②，
y=
DE×DG
=
(20-4x)•
(20-4x)=
（20-4x）2．
（或y=
x2-
x+
）．
解：（1）∵∠C=90°，PD⊥BC，∴DP∥AC，
∴△DBP∽△ABC，四边形PDEC为矩形，
∴
| PD |
| CA |
| PB |
| CB |
∴PD=
| CA×PB |
| CB |
| 30×4x |
| 20 |
∴CE=6x；
（2）∵∠CEF=∠ABC，∠C为公共角，
∴△CEF∽△CBA，
∴
| CF |
| CA |
| CE |
| CB |
∴CF=
| CA×CE |
| CB |
| 30×6x |
| 20 |
当点F与点B重合时，CF=CB，9x=20．
解得x=
| 20 |
| 9 |
（3）当点F与点P重合时，BP+CF=CB，4x+9x=20，
解得x=
| 20 |
| 13 |
当0＜x＜
| 20 |
| 13 |
|
=-51x2+120x．
当
| 20 |
| 13 |
| 20 |
| 9 |
y=
| 1 |
| 2 |
=
| 1 |
| 2 |
| 2 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
（或y=
| 16 |
| 3 |
| 160 |
| 3 |
| 400 |
| 3 |
点评：本题是一道代数几何综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质，同时要熟悉梯形与三角形的面积公式．
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