题目内容
【题目】如图，已知顶点为D的抛物线
与x轴交于A(－1，0)，C(3，0)两点，与y轴交于B点．
(1)求该抛物线的解析式及点D坐标；
(2)若点Q是该抛物线的对称轴上的一个动点，当AQ＋QB最小时，直接写出直线AQ的函数解析式；
(3)若点P为抛物上的一个动点，且点P在x轴上方，过P作PK垂直x轴于点K，是否存在点P使得A,K,P三点形成的三角形与△DBC相似?如存在，求出点P的坐标，如不存在，请说明理由．
【答案】（1）y=-x2+2x+3，
；（2）直线
的函数解析式为
.（3）存在点
或
，使得点
三点围成的三角形与△DBC相似.
【解析】
（1）把A、C两点坐标代入
求出a，c的值即可；
（2）由抛物线的对称性找出点B关于对称轴对称点E，连接AE，则AE的长即为AQ+BQ的最小值，运用待定系数法可求出AQ的解析式；
（3）先证明△DBC是直角三角形，设
，则
，再根据
或
列出比例式，得出关于t的方程，求解即可.
（1）∵抛物线
与x轴交于A(－1，0)，C(3，0)两点
∴ 根据题意，把A（-1，0），C（3，0）两点代入，
得
解得
∴抛物线的解析式为
∵
∴
（2）当x=0时，y=3，
∴
，
则点B 关于对称轴对称的点的坐标为（2，3）
连接AE，交抛物线对称轴于Q，则AE即为AQ+QB的最小值，
设AQ的解析式为：y=kx+b,
把A（-1，0），E(2,3)代入得，
，
解得，
∴
最小时，直线的函数解析式为.
（3）过
作
垂直
轴交于点
，过
作
垂直于点
，如图，
在
中，
∴
，是直角三形，
∴
,
若点三点围成的三角形与△DBC相似，则或
则
或
即
或
设，则
得
或
得
或
解得
，或
（舍去），或
∴存在点或，使得点三点围成的三角形与△DBC相似.
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