Question

19．如图，Rt△ABC内接于⊙O，BC为直径，cos∠ACB=$\frac{5}{9}$，D是$\widehat{AB}$的中点，CD与AB的交点为E，则$\frac{CE}{DE}$等于$\frac{5}{2}$．

Answer 1

分析 利用垂径定理的推论得出DO⊥AB，AF=BF，进而得出DF的长和△DEF∽△CEA，再利用相似三角形的性质求出即可．

解答 解：连接DO，交AB于点F，
∵D是$\widehat{AB}$的中点，
∴DO⊥AB，AF=BF，
∵AB=4，
∴AF=BF=2，
∴FO是△ABC的中位线，AC∥DO，
∵BC为直径，cos∠ACB=$\frac{5}{9}$，
∴设AC=5x，BC=9x，
∴BA=2$\sqrt{14}$，FO=$\frac{1}{2}$AC=2.5x，
∴DO=4.5x，
∴DF=4.5x-2.5x=2x，
∵AC∥DO，
∴△DEF∽△CEA，
∴$\frac{CE}{DE}$=$\frac{AC}{FD}$，
∴$\frac{CE}{DE}$=$\frac{5x}{2x}$=$\frac{5}{2}$．
故答案为：$\frac{5}{2}$．

点评 此题主要考查了垂径定理的推论以及相似三角形的判定与性质，根据已知得出△DEF∽△CEA是解题关键．