Question

【题目】如图所示，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线y＝kx+b经过点A（﹣2，﹣1），交y轴负半轴于点B，且∠ABO＝30°，过点A作直线AC⊥x轴于点C，点P在直线AC上．

（1）k＝　 　；b＝　 　；

（2）设△ABP的面积为S，点P的纵坐标为m．

①当m＞0时，求S与m之间的函数关系式；

②当S＝2时，求m的值；

③当m＞0且S＝4时，以BP为边作等边△BPQ，请直接写出符合条件的所有点Q的坐标．

Answer 1

【答案】（1）k＝﹣；b＝﹣1﹣2；（2）①S＝1+m；②m的值为1或﹣3；③点Q的坐标为（﹣4﹣2，1﹣2）或（2+2，1）

【解析】

（1）CD=AC=，AD=2CD=，则B（0，-1-2），把点B和A（-2，-1）代入y=kx+b，即可求解；

（2）①当m＞0，△ABP的面积为S=（1+m）×2=1+m，即S=1+m；

②-1＜m≤0时，△ABP的面积为S=（1+m）×2=1+m，即S=1+m；当m＜-1时，△ABP的面积为S=（-1-m）×2=-1-m，即S=-1-m；即可求解；
③以证明△BPQ是等边三角形、△BQE≌△PBF（AAS），、△PQ'G≌△PBF（AAS），即可求解．

解：（1）设直线y＝kx+b与x轴交于点D，如图所示：

∵点A（﹣2，﹣1），

∴OC＝2，AC＝1，

∵AC⊥x轴，OB⊥x轴，

∴AC∥OB，

∴∠CAD＝∠ABO＝30°，

∴CD＝AC＝，

∴AD＝2CD＝，

OD＝CD+OC＝+2，

∴BD＝2OD＝+4，OB＝OD＝1+2，

∴B（0，﹣1﹣2），

把点B和A（﹣2，﹣1）代入y＝kx+b得：并解得：

∴y＝﹣x﹣1﹣2，

故答案为：﹣；

（2）①当m＞0，如图1所示：

则PC＝m，AP＝AC+PC＝1+m，

∴△ABP的面积为S＝（1+m）×2＝1+m，即S＝1+m；

②﹣1＜m≤0时，如图2所示：

则AP＝1+m，

∴△ABP的面积为S＝（1+m）×2＝1+m，即S＝1+m；

当m＜﹣1时，如图3所示：

则AP＝﹣1﹣m，

∴△ABP的面积为S＝（﹣1﹣m）×2＝﹣1﹣m，即S＝﹣1﹣m；

把S＝2代入S＝1+m得：2＝1+m，

解得：m＝1；

把S＝2代入S＝﹣1﹣m得：2＝﹣1﹣m，

解得：m＝﹣3；

综上所述，当S＝2时，m的值为1或﹣3；

③以BP为边作等边△BPQ和等边△BPQ'，作QE⊥y轴于E，PF⊥y轴于F，如图4所示：

则PF＝2，OF＝3，BF＝OF+OB＝4+2，

当m＞0且S＝4时，4＝1+m，

解得：m＝3，

∴P（﹣2，3），

∴PC＝3，AP＝1+3＝4，

∵AB＝BD﹣AD＝4，

∴AP＝AB，

∴∠ABP＝∠APB＝∠CAD＝15°，

∵AC∥OB，

∴∠PBF＝∠APB＝15°，

∵△BPQ是等边三角形，

∴BQ＝BP，∠PBQ＝60°，

∴∠QBE＝75°，∴∠BQE＝90°﹣75°＝15°＝∠PBF，

在△BQE和△PBF中，

∠QEB＝∠BFP＝90°，∠BQE＝∠PBF，BQ＝PB，

∴△BQE≌△PBF（AAS），

∴QE＝BF＝4+2，BE＝PF＝2，

∴OE＝OB﹣BE＝2﹣1，

∴点Q的坐标为（﹣4﹣2，1﹣2）；

作Q'G⊥PC于G，交y轴于E'，

同理：△PQ'G≌△PBF（AAS），

∴Q'G＝BF＝4+2，PG＝PF＝2，

∴OE'＝Q'G﹣OC＝2+2，CG＝PC﹣PG＝1，

∴点Q'的坐标为（2+2，1）；

综上所述，点Q的坐标为（﹣4﹣2，1﹣2）或（2+2，1）．