题目内容
如图所示，在矩形ABCD中，AB=6，AD=2
，点P是边BC上的动点（点P不与点B，C重合），过点P作直线PQ∥BD，交CD边于Q点，再把△PQC沿着动直线PQ对折，点C的对应点是R点．设CP=x，△PQR与矩形ABCD重叠部分的面积为y．
（1）求∠CPQ的度数．
（2）当x取何值时，点R落在矩形ABCD的边AB上？
（3）当点R在矩形ABCD外部时，求y与x的函数关系式．并求此时函数值y的取值范围．
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（1）求∠CPQ的度数．
（2）当x取何值时，点R落在矩形ABCD的边AB上？
（3）当点R在矩形ABCD外部时，求y与x的函数关系式．并求此时函数值y的取值范围．
（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD，AD=BC；
又AB=6，AD=2
，∠C=90°，
∴CD=6，BC=2
；
∴tan∠CDB=
=
；
∴∠CDB=30°，∠CBD=60°；
∵PQ∥BD，
∴∠CPQ=∠CBD=60°；
（2）如图，由轴对称的性质知：△RPQ≌△CPQ，
∴∠RPQ=∠CPQ，RP=CP；
由（1）知：∠CPQ=60°，
∴∠RPQ=∠CPQ=60°；
∴∠RPB=60°，
∴RP=2BP；
令CP=x，
∴RP=x，PB=2
-x；
在△RPB中，根据题意，得：2（2
-x）=x，解得x=
；
（3）当R在矩形ABCD的外部时，
＜x＜2
；
在Rt△PFB中，∵∠RPB=60°，
∴PF=2BP=2（2
-x）；
又∵RP=CP=x，
∴RF=RP-PF=3x-4
；
在Rt△ERF中，∵∠EFR=∠PFB=30°，
∴ER=
x-4；
∴S△ERF=
ER×FR=
x2-12x+8
；
∴y=S△RPQ-S△ERF；
∴当
＜x＜2
时，y=-
x2+12x-8
．
∴
＜y＜4
．
∴AB=CD，AD=BC；
又AB=6，AD=2
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∴CD=6，BC=2
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∴tan∠CDB=
| BC |
| CD |
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∴∠CDB=30°，∠CBD=60°；
∵PQ∥BD，
∴∠CPQ=∠CBD=60°；
（2）如图，由轴对称的性质知：△RPQ≌△CPQ，
∴∠RPQ=∠CPQ，RP=CP；
由（1）知：∠CPQ=60°，
∴∠RPQ=∠CPQ=60°；
∴∠RPB=60°，
∴RP=2BP；
令CP=x，
∴RP=x，PB=2
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在△RPB中，根据题意，得：2（2
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（3）当R在矩形ABCD的外部时，
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在Rt△PFB中，∵∠RPB=60°，
∴PF=2BP=2（2
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又∵RP=CP=x，
∴RF=RP-PF=3x-4
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在Rt△ERF中，∵∠EFR=∠PFB=30°，
∴ER=
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∴S△ERF=
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∴y=S△RPQ-S△ERF；
∴当
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∴
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练习册系列答案
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反折，使得点A落在EF的H上（如图（2）），折痕交AE于点G，求EG的长度．
