Question

如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠A＝30°，AB是⊙O的直径，过点C作⊙O的切线，交AB延长线于D，CD＝3cm，

（1）求⊙O的直径。
（2）若动点M以3cm/s的速度从点A出发沿AB方向运动。同时点N以1.5cm/s的速度从B点出发沿BC方向运动。设运动的时间为t(0≤t≤2)，连结MN，当t为何值时△BMN为Rt△？并求此时该三角形的面积？

Answer 1

（1）6cm
（2）（cm²）

（1）解：∵AB是⊙O的直径.
∴∠ACB＝90°  ……………………（0.5＇）
又∠A＝30°
∴∠ABC＝60° ………………………（1＇）
连接OC，因CD切⊙O于C，则∠OCD＝90°  …………（2＇）
在△OBC中
∵OB＝OC，∠ABC＝60°
∴∠OCB＝60°
∴∠BCD＝30°      …………………………………（2.5＇）
又∠OBC＝∠BCD＋∠D
∴∠D＝30° …………………………………………（3＇）
∴AC＝CD＝3 …………………………………（3.5＇）
在Rt△ABC中，cosA＝
∴AB＝＝＝6（cm）……………………（5＇）
（2）△BMN中，①当∠BNM＝90°时，cos∠MBC＝

即cos60°＝           ∴t＝1     ………（6＇）
此时BM＝3   BN＝1.5   MN＝＝   ……（7＇）
∴S△_BMN＝BN·MN＝ （cm²）    …………………（8＇）
②当∠NMB＝90°时，cos∠MBC＝

即cos60°＝       ∴ t＝1.6    ………………（9＇）
此时BM＝ BN＝  MN＝＝  （10＇）
∴S△_BMN＝ BM·MN＝××＝（cm²） ………………（11＇）