Question

△ABC中，∠A=60°，∠B，∠C的平分线BE，CF相交于O．下列结论正确的有_____个
①∠EOC=60°；②OE=OF；③BC=BF；④BC=BE=CF．

1. A.
   1个
2. B.
   2个
3. C.
   3个
4. D.
   4个

Answer 1

B
分析：①根据三角形的内角和定理求出∠ABC+∠ACB的度数，再根据角平分线的定义求出∠OBC+∠OCB，然后利用三角形的内角和定理计算即可得解；
②截取CD=CE，利用“边角边”证明△CEO和△CDO全等，根据全等三角形对应角相等可得∠COE=∠COD，全等三角形对应边相等可得OE=OD，然后求出∠BOF=∠BOD=60°，再利用“角边角”证明△BOD和△BOF全等，根据全等三角形对应边相等可得OD=OF，从而得到OE=OF；
③根据全等三角形对应边相等可得BF=BD，从而判断本小题错误；
④假设BE=CF成立，可以求出OB=OC，根据等边对等角可得∠OBC=∠OCB，然后求出∠ABC=∠ACB，此条件无法得到，从而判定本小题错误．
解答：①∵∠A=60°，
∴∠ABC+∠ACB=180°-60°=120°，
∵∠B，∠C的平分线BE，CF相交于O，
∴∠OBC+∠OCB=（∠ABC+∠ACB）=×120°=60°，
∴∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=180°-60°=120°，
∠EOC=180°-∠BOC=180°-120°=60°，故本小题正确；
②如图，截取CD=CE，
∵CF是∠ACB的平分线，
∴∠ECO=∠DCO，
在△CEO和△CDO中，
∵，
∴△CEO≌△CDO（SAS），
∴∠COE=∠COD=60°，OE=OD，
∵∠BOC=120°（已证），
∴∠BOD=120°-60°=60°，
又∵∠BOF=∠COE=60°，
∴∠BOF=∠BOD=60°，
∵BE是∠ABC的平分线，
∴∠FBO=∠DBO，
在△BOD和△BOF中，
∵，
∴△BOD≌△BOF（ASA），
∴OD=OF，
∴OE=OF，故本小题正确；
③∵△BOD≌△BOF，
∴BF=BD，
∴BC=BF错误，故本小题错误；
④假设BE=CF成立，∵OE=OF，
∴BE-OE=BF-OF，
即OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB，
∵∠B，∠C的平分线BE，CF相交于O，
∴∠ABC=∠ACB，
此条件无法求出，所以假设不成立，故本小题错误．
综上所述，正确的是①②共2个．
故选B．
点评：本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键，要注意整体思想的利用．