Question

如图，▱ABCD中，AB＞AD，AE，BE，CM，DM分别为∠DAB，∠ABC，∠BCD，∠CDA的平分线，AE与DM相交于点F，BE与CM相交于点H，连接EM．若▱ABCD的周长为42cm，FM=3cm，EF=4cm，则EM=　　cm，AB=　　cm．

Answer 1

5. 13

解：∵AE为∠DAB的平分线，

∴∠DAE=∠EAB=∠DAB，

同理：∠ABE=∠CBE=∠ABC，

∠BCM=∠DCM=∠BCD，

∠CDM=∠ADM=∠ADC．

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴∠DAB=∠BCD，∠ABC=∠ADC，AD=BC．

∴∠DAF=∠BCN，∠ADF=∠CBN．

在△ADF和△CBN中，

．

∴△ADF≌△CBN（ASA）．

∴DF=BN．

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC，

∴∠DAB+∠ABC=180°．

∴∠EAB+∠EBA=90°．

∴∠AEB=90°．

同理可得：∠AFD=∠DMC=90°．

∴∠EFM=90°．

∵FM=3，EF=4，

∴ME==5（cm）．

∵∠EFM=∠FMN=∠FEN=90°．

∴四边形EFMN是矩形．

∴EN=FM=3．

∵∠DAF=∠EAB，∠AFD=∠AEB，

∴△AFD∽△AEB．

∴=．

∴=．

∴4DF=3AF．

设DF=3k，则AF=4k．

∵∠AFD=90°，

∴AD=5k．

∵∠AEB=90°，AE=4（k+1），BE=3（k+1），

∴AB=5（k+1）．

∵2（AB+AD）=42，

∴AB+AD=21．

∴5（k+1）+5k=21．

∴k=1.6．

∴AB=13（cm）．

故答案为：5、13．