Question

【题目】如图，在菱形ABCD中，AC与BD交于点O，E是BD上一点，EF//AB，∠EAB=∠EBA，过点B作DA的垂线，交DA的延长线于点G．

（1）∠DEF和∠AEF是否相等？若相等，请证明；若不相等，请说明理由；

（2）找出图中与ΔAGB相似的三角形，并证明；

（3）BF的延长线交CD的延长线于点H，交AC于点M．求证：BM2=MFMH．

Answer 1

【答案】（1），理由见解析；（2），证明见解析；（3）证明见解析.

【解析】（1）先判断出∠DEF=∠EBA，∠AEF=∠EAB，即可得出结论；

（2）先判断出∠GAB=∠ABE+∠ADB=2∠ABE，进而得出∠GAB=∠AEO，即可得出结论；

（3）先判断出BM=DM，∠ADM=∠ABM，进而得出∠ADM=∠H，判断出△MFD∽△MDH，即可得出结论．

（1）∠DEF=∠AEF，理由如下：

∵EF∥AB，∴∠DEF=∠EBA，∠AEF=∠EAB．

∵∠EAB=∠EBA，∴∠DEF=∠AEF；

（2）△EOA∽△AGB，理由如下：

∵四边形ABCD是菱形，∴AB=AD，AC⊥BD，

∴∠GAB=∠ABE+∠ADB=2∠ABE．

∵∠AEO=∠ABE+∠BAE=2∠ABE．

∵∠GAB=∠AEO，∠GAB=∠AOE=90°，∴△EOA∽△AGB；

（3）如图，连接DM．

∵四边形ABCD是菱形，由对称性可知，BM=DM，∠ADM=∠ABM．

∵AB∥CH，∴∠ABM=∠H，∴∠ADM=∠H．

∵∠DMH=∠FMD，∴△MFD∽△MDH，∴，∴DM2=MFMH，

∴BM2=MFMH．