题目内容
如图1，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，-2），点B的坐标为（3，-1），二次函数y=-x2的图象为l1．（1）平移抛物线l1，使平移后的抛物线过点A，但不过点B，写出平移后的抛物线的一个解析式（任写一个即可）；
（2）平移抛物线l1，使平移后的抛物线过A、B两点，记抛物线为l2，如图2，求抛物线l2的函数解析式及顶点C的坐标；
（3）设P为y轴上一点，且S△ABC=S△ABP，求点P的坐标；
（4）请在图2上用尺规作图的方式探究抛物线l2上是否存在点Q，使△QAB为等腰三角形？若存在，请判断点Q共有几个可能的位置（保留作图痕迹）；若不存在，请说明理由．
【答案】分析：做这类题时要综合二次函数的图象，及等腰三角形的知识．
解答：解：（1）让抛物线过点A，即把点A的坐标代入计算，得到，b+c=-1，不过点B，则把点B的坐标代入得到3b+c≠8，依此两个要求，随便找一个数即可．故平移后的抛物线的一个解析式y=-x2+2x-3或y=-x2+4x-5等（满足条件即可）；（1分）
（2）设l2的解析式为y=-x2+bx+c，联立方程组
，
解得：
，则l2的解析式为y=-x2+
x-
．（3分）
点C的坐标为（
）．（4分）
（3）如答图1，过点A、B、C三点分别作x轴的垂线，垂足分别为D、E、F，
则AD=2，CF=
，BE=1，DE=2，DF=
，FE=
．
得：S△ABC=S梯形ABED-S梯形BCFE-S梯形ACFD=
．（5分）
延长BA交y轴于点G，直线AB的解析式为y=
x-
，则点G的坐标为（0，
），设点P的坐标为（0，h），
①当点P位于点G的下方时，
，连接AP、BP，
则S△ABP=S△BPG-S△APG=-
-h，又S△ABC=S△ABP=
，得
，点P的坐标为（0，
）．（6分）
②当点P位于点G的上方时，
，同理
，点P的坐标为（0，
）．
综上所述所求点P的坐标为（0，
）或（0，
）（7分）
（4）作图痕迹如答图2所示．
若AB为等腰三角形的腰，则分别以A、B为圆心，以AB长为半径画圆，交抛物线分别于Q1、Q2；
若AB为等腰三角形的底边，则作AB的垂直平分线，交抛物线分别于Q3、Q4，
由图可知，满足条件的点有Q1、Q2、Q3、Q4，共4个可能的位置．（10分）
点评：本题综合考查了二次函数的图象与平移的有关知识．
解答：解：（1）让抛物线过点A，即把点A的坐标代入计算，得到，b+c=-1，不过点B，则把点B的坐标代入得到3b+c≠8，依此两个要求，随便找一个数即可．故平移后的抛物线的一个解析式y=-x2+2x-3或y=-x2+4x-5等（满足条件即可）；（1分）
（2）设l2的解析式为y=-x2+bx+c，联立方程组
，解得：
，则l2的解析式为y=-x2+
x-
．（3分）点C的坐标为（
）．（4分）（3）如答图1，过点A、B、C三点分别作x轴的垂线，垂足分别为D、E、F，
则AD=2，CF=
，BE=1，DE=2，DF=
，FE=
．得：S△ABC=S梯形ABED-S梯形BCFE-S梯形ACFD=
．（5分）延长BA交y轴于点G，直线AB的解析式为y=
x-
，则点G的坐标为（0，
），设点P的坐标为（0，h），①当点P位于点G的下方时，
，连接AP、BP，则S△ABP=S△BPG-S△APG=-
-h，又S△ABC=S△ABP=
，得
，点P的坐标为（0，
）．（6分）②当点P位于点G的上方时，
，同理
，点P的坐标为（0，
）．综上所述所求点P的坐标为（0，
）或（0，
）（7分）（4）作图痕迹如答图2所示．
若AB为等腰三角形的腰，则分别以A、B为圆心，以AB长为半径画圆，交抛物线分别于Q1、Q2；
若AB为等腰三角形的底边，则作AB的垂直平分线，交抛物线分别于Q3、Q4，
由图可知，满足条件的点有Q1、Q2、Q3、Q4，共4个可能的位置．（10分）
点评：本题综合考查了二次函数的图象与平移的有关知识．
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23、在数学上，为了确定平面上点的位置，我们常用下面的方法：如图甲，在平面内画两条互相垂直，并且有公共原点O的数轴，通常一条画成水平，叫x轴，另一条画成铅垂，叫y轴，这样，我们就说在平面上建立了一个平面直角坐标系，这是由法国数学家和哲学家笛卡尔创立的，这样我们就能确定平面上点的位置，例如，要确定点M的位置，只要作MP⊥x轴，MP⊥y轴，设垂足N，P在各自数轴上所表示的数分别为x，y，则x叫做点M的横坐标，y叫做点M的纵坐标，有序数对（x，y）叫做M点的坐标，如图甲，点M的坐标记作（2，3），（1）△ABC在平面直角坐标系中的位置如图乙，请把△ABC向右平移3个单位，在平面直角坐标系中画出平移后的△A′B′C′；
在平面直角坐标系中，将一块腰长为
为旋转中心时，点
绕着点
旋转180°得到
点，点
再绕着点
点，这时点
与点
为旋转中心时，点
点，点
点，点
点,小明发现P、
两点关于点
中心对称.
、
、
为旋转中心时，点
绕着点
旋转180°得到
点；点
旋转180°得到
点；点
旋转180°得到
点；点
旋转180°得到点
. 继续如此操作若干次得到点
，则点
的坐为．
，有序数对（x，y）叫做M点的坐标，如图甲，点M的坐标记作（2，3），