Question

已知一次函数y=kx+b（k≠0）的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，且与反比例函数y=（m≠O）的图象在第一象限交于C点，CD垂直于x轴，垂足为D．若OA=OB=OD=1．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式．
（2）写出使反比例函数的值大于一次函数的值的x的取值范围．
（3）在x轴上是否存在点P，使△COP为等腰三角形？若存在，把符合条件的P点坐标都求出来；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）由题知：A（-1，0），B（0，1），D（1，0），
设一次函数解析式为y=kx+b，把A（-1，0），B（0，1）分别代入解析式得，
，
解得，
∴一次函数即AB解析式为y=x+1
当x=1时，y=2，即C（1，2），
∴反比例函数解析式：y=，

（2）将两函数解析式组成方程组，
求出其交点坐标为（1，2），（-2，-1）．
故可知反比例函数的值大于一次函数的值，
x＜-2，或0＜x＜1．

（3）设P（x，0），
∵C（1，2），
∴OC=，
∴当OC=PC时，则=，解得x=2或x=；
当OC=OP时，则|x|=，解得x=±，
故P点坐标为：（2，0），（，0），（，0）（-，0）．
分析：（1）根据OA=OB=OD=1得出A、B的坐标，利用待定系数法即可求出函数解析式；
（2）将两函数解析式组成方程组，求出交点坐标，即可求出使反比例函数的值大于一次函数的值的x的取值范围．
（3）分以CO为底和以CO为边两种情况解答．
点评：此题是一道反比例函数综合题，涉及待定系数法、一次函数与反比例函数的交点问题、及三角形的存在性问题，难度较大，值得关注．