题目内容
如图，已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD=2，AB=8，CD=10．（1）求梯形ABCD的面积S；
（2）动点P从点B出发，以2cm/s的速度、沿B→A→D→C方向，向点C运动；动点Q从点C出发，以2cm/s的速度、沿C→D→A方向，向点A运动．若P、Q两点同时出发，当其中一点到达目的地时整个运动随之结束，设运动时间为t秒．
问：①当点P在B→A上运动时，是否存在这样的t，使得直线PQ将梯形ABCD的周长平分？若存在，请求出t的值，并判断此时PQ是否平分梯形ABCD的面积；若不存在，请说明理由；
②在运动过程中，是否存在这样的t，使得以P、D、Q为顶点的三角形恰好是以DQ为一腰的等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的t的值；若不存在，请说明理由．
【答案】分析：（1）求面积要先求梯形的高，在直角三角形中用勾股定理进行求解，得出底边后即可求出梯形的面积．
（2）①PQ平分梯形的周长，那么AD+DQ+AP=BC+CQ+BP，已知了AD，BC的长，可以用t来表示出AP，BP，CQ，QD的长，那么可根据上面的等量关系求出t的值，再求出梯形面积即可得出答案；
②分三种情况进行讨论：
一、当P在AB上时，即0≤t≤4，等腰△PDQ以DQ为腰，因此DQ=DP或DQ=PQ，可以通过构建直角三角形来表示出DP，PQ的长，然后根据得出的等量关系来求t的值．
二、当P在AD上时，即4＜t＜5，由于BA+AD=CD=10，因此DP=DQ=10-2t，因此DP，DQ恒相等．
三、当P在CD上时，即5＜t≤6．综合三种情况可得出等腰三角形以DQ为腰时，t的取值．
解答：
解：（1）过D作DH∥AB交BC于H点，
∵AD∥BH，DH∥AB，
∴四边形ABHD是平行四边形．
∴DH=AB=8；BH=AD=2．
∵CD=10，
∴HC=
=6，
∴BC=BH+CH=8，
∴SABCD=
（AD+BC）AB=
×（2+8）×8=40．
（2）①∵BP=CQ=2t，
∴AP=8-2t，DQ=10-2t，
∵AP+AD+DQ=PB+BC+CQ，
∴8-2t+2+10-2t=2t+8+2t．
∴t=
＜4．
∴当t=
秒时，PQ将梯形ABCD周长平分．
QC=3，PB=3，
∵QE∥DH，
∴
=
=
，
∴
=
=
，
∴QE=
，EC=
，
BE=8-
=
，
四边形PBCQ面积=S梯形QEBP+S△QEC=
（PB+QE）×BE+
QE×EC，
=
×（
+3）×
+
×
×
，
=
，
=18.9，
所以PQ不平分梯形ABCD的面积．
②第一种情况：当0≤t≤4时．过Q点作QE⊥BC，QH⊥AB，垂足为E、H．
∵AP=8-2t，AD=2，
∴PD=
=
．
∵CE=
t，QE=
t，
∴QH=BE=8-
t，BH=QE=
t．
∴PH=2t-
t=
t．
∴PQ=
=
=
，
DQ=10-2t．
Ⅰ：DQ=DP，10-2t=
，
解得t=4秒．
Ⅱ：DQ=PQ，10-2t=
，
化简得：3t2-26t+45=0
解得：t=
，t=
＞4（不合题意舍去），
∴t=
，
∴第二种情况：4≤t＜5时．DP=DQ=10-2t．
∴当4≤t＜5时，以DQ为腰的等腰△DPQ恒成立．
第三种情况：5＜t≤6时．DP=DQ=2t-10．
∴当5＜t≤6时，以DQ为腰的等腰△DPQ恒成立．
综上所述，t=
或4，4≤t＜5或5＜t≤6时，以DQ为腰的等腰△DPQ成立．
点评：此题主要考查了梯形的性质以及相似三角形的判定和性质等知识点，要注意（3）中要根据P，Q的不同位置，进行分类讨论，不要漏解．
（2）①PQ平分梯形的周长，那么AD+DQ+AP=BC+CQ+BP，已知了AD，BC的长，可以用t来表示出AP，BP，CQ，QD的长，那么可根据上面的等量关系求出t的值，再求出梯形面积即可得出答案；
②分三种情况进行讨论：
一、当P在AB上时，即0≤t≤4，等腰△PDQ以DQ为腰，因此DQ=DP或DQ=PQ，可以通过构建直角三角形来表示出DP，PQ的长，然后根据得出的等量关系来求t的值．
二、当P在AD上时，即4＜t＜5，由于BA+AD=CD=10，因此DP=DQ=10-2t，因此DP，DQ恒相等．
三、当P在CD上时，即5＜t≤6．综合三种情况可得出等腰三角形以DQ为腰时，t的取值．
解答：
解：（1）过D作DH∥AB交BC于H点，∵AD∥BH，DH∥AB，
∴四边形ABHD是平行四边形．
∴DH=AB=8；BH=AD=2．
∵CD=10，
∴HC=
=6，∴BC=BH+CH=8，
∴SABCD=
（AD+BC）AB=×（2+8）×8=40．（2）①∵BP=CQ=2t，
∴AP=8-2t，DQ=10-2t，
∵AP+AD+DQ=PB+BC+CQ，
∴8-2t+2+10-2t=2t+8+2t．
∴t=
＜4．∴当t=
秒时，PQ将梯形ABCD周长平分．QC=3，PB=3，
∵QE∥DH，
∴
==，∴
==，∴QE=
，EC=，BE=8-
=，四边形PBCQ面积=S梯形QEBP+S△QEC=
（PB+QE）×BE+QE×EC，=
×（+3）×+××，=
，=18.9，
所以PQ不平分梯形ABCD的面积．
②第一种情况：当0≤t≤4时．过Q点作QE⊥BC，QH⊥AB，垂足为E、H．
∵AP=8-2t，AD=2，
∴PD=
=．∵CE=
t，QE=t，∴QH=BE=8-
t，BH=QE=t．∴PH=2t-
t=t．∴PQ=
==，DQ=10-2t．
Ⅰ：DQ=DP，10-2t=
，解得t=4秒．
Ⅱ：DQ=PQ，10-2t=
，化简得：3t2-26t+45=0
解得：t=
，t=＞4（不合题意舍去），∴t=
，∴第二种情况：4≤t＜5时．DP=DQ=10-2t．
∴当4≤t＜5时，以DQ为腰的等腰△DPQ恒成立．
第三种情况：5＜t≤6时．DP=DQ=2t-10．
∴当5＜t≤6时，以DQ为腰的等腰△DPQ恒成立．
综上所述，t=
或4，4≤t＜5或5＜t≤6时，以DQ为腰的等腰△DPQ成立．点评：此题主要考查了梯形的性质以及相似三角形的判定和性质等知识点，要注意（3）中要根据P，Q的不同位置，进行分类讨论，不要漏解．
练习册系列答案
相关题目
如图，已知直角梯形ABCD中，AD∥BC∥EF，∠A=90°，BC=DC=4，AC、BD交于E，且EF=ED．
21、当我们遇到梯形问题时，我们常用分割的方法，将其转化成我们熟悉的图形来解决：
如图，已知直角梯形的一条对角线把梯形分为一个直角三角形和一个边长为8cm的等边三角形，则梯形的中位线长为 （ ）
如图，已知直角梯形ABCD中，AD∥BC（AD＜BC），∠B=90°，AB=AD+BC．点E是CD的中点，点F是AB上的点，∠ADF=45°，FE=a，梯形ABCD的面积为m．
如图，已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，∠C=60°，BC=12cm，DC=16cm，动点P沿A→D→C线路以2cm/秒的速度向C运动，动点Q沿B→C线路以1cm/秒的速度向C运动．P、Q两点分别从A、B同时出发，当其中一点到达C点时，另一点也随之停止．设运动时间为t秒，△PQB的面积为y cm2．