题目内容
如图，在平面直角坐标系中，⊙M与x轴交于A，B两点，AC是⊙M的直径，过点C的直线交x轴于点D，连接BC，已知点M的坐标为(0，| 3 |
| 3 |
| 3 |
（1）求点D的坐标和BC的长；
（2）求点C的坐标和⊙M的半径；
（3）求证：CD是⊙M的切线．
分析：（1）因为点M的坐标为(0，
)，直线CD的函数解析式为y=-
x+5
，D在x轴上，可求出OM=
，D（5，0），又因过圆心M的直径⊥AB，AC是直径，利用垂径定理可得OA=OB，AM=MC，∠ABC=90°，利用三角形的中位线可得OM=
BC，BC=2
；
（2）因为BC=2
，所以可设C（x，2
），利用直线CD的函数解析式为y=-
x+5
．可得到y=-
x+5
=2
，即求出C（3，2
），利用勾股定理可得AC=
=4
，即⊙M的半径为2
；
（3）求出BD=5-3=2，BC=2
，CD=
=4，AC=4
，AD=8，CD=4，
=
=
，可得△ACD∽△CBD，
所以∠CBD=∠ACD=90°，CD是⊙M的切线．
| 3 |
| 3 |
| 3 |
| 3 |
| 1 |
| 2 |
| 3 |
（2）因为BC=2
| 3 |
| 3 |
| 3 |
| 3 |
| 3 |
| 3 |
| 3 |
| 3 |
| AB2+BC2 |
| 3 |
| 3 |
（3）求出BD=5-3=2，BC=2
| 3 |
| CB2+BD2 |
| 3 |
| AD |
| CD |
| CD |
| BD |
| AC |
| BC |
所以∠CBD=∠ACD=90°，CD是⊙M的切线．
解答：（1）解：∵点M的坐标为(0，
)，直线CD的函数解析式为y=-
x+5
，D在x轴上，
∴OM=
，D（5，0）；
∵过圆心M的直径⊥AB，AC是直径，
∴OA=OB，AM=MC，∠ABC=90°，
∴OM=
BC，
∴BC=2
．
（2）解：∵BC=2
，
∴设C（x，2
）；
∵直线CD的函数解析式为y=-
x+5
，
∴y=-
x+5
=2
，
∴x=3，即C（3，2
），
∵CB⊥x轴，OB=3，
∴AO=3，AB=6，AC=
=4
，
即⊙M的半径为2
．
（3）证明：∵BD=5-3=2，BC=2
，CD=
=4，
AC=4
，AD=8，CD=4，
∴
=
=
，
∴△ACD∽△CBD，
∴∠CBD=∠ACD=90°；
∵AC是直径，
∴CD是⊙M的切线．
| 3 |
| 3 |
| 3 |
∴OM=
| 3 |
∵过圆心M的直径⊥AB，AC是直径，
∴OA=OB，AM=MC，∠ABC=90°，
∴OM=
| 1 |
| 2 |
∴BC=2
| 3 |
（2）解：∵BC=2
| 3 |
∴设C（x，2
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∵直线CD的函数解析式为y=-
| 3 |
| 3 |
∴y=-
| 3 |
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∴x=3，即C（3，2
| 3 |
∵CB⊥x轴，OB=3，
∴AO=3，AB=6，AC=
| AB2+BC2 |
| 3 |
即⊙M的半径为2
| 3 |
（3）证明：∵BD=5-3=2，BC=2
| 3 |
| CB2+BD2 |
AC=4
| 3 |
∴
| AD |
| CD |
| CD |
| BD |
| AC |
| BC |
∴△ACD∽△CBD，
∴∠CBD=∠ACD=90°；
∵AC是直径，
∴CD是⊙M的切线．
点评：解决本题需用到分类讨论、数形结合、方程和转化等数学思想方法．
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