题目内容
已知外心G，内心I，且AB+AC=2BC，求证：GI⊥AI．分析：根据题意画出图形，连接CI，CD，延长AI交⊙O于点D，交BC于E，由三角形内心的性质可得到
=
=
，
=
，再由相似三角形的判定与性质可得AD=2CD，由三角形外心的性质即可得出结论．
| AC |
| CE |
| AB |
| BE |
| AI |
| IE |
| AC+AB |
| BE |
| AB |
| BE |
解答：
证明：如图所示，连接CI，CD，延长AI交△ABC的外接圆于点D，交BC于E，
∵I是△ABC的内心，
∴
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=
，
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，
∵AB+AC=2BC，
∴AB=2BE，
∵∠ADC=∠ABC，∠BAD=∠CAD，
∴△ABE∽△ADC，
∴AD=2CD，
∵由内心的性质可知DC=DI，
∴AD=2DI，
∵G是△ABC的外心，
∴GI⊥AI．
证明：如图所示，连接CI，CD，延长AI交△ABC的外接圆于点D，交BC于E，∵I是△ABC的内心，
∴
| AC |
| CE |
| AB |
| BE |
| AI |
| IE |
| AC+AB |
| BC |
| AB |
| BE |
∵AB+AC=2BC，
∴AB=2BE，
∵∠ADC=∠ABC，∠BAD=∠CAD，
∴△ABE∽△ADC，
∴AD=2CD，
∵由内心的性质可知DC=DI，
∴AD=2DI，
∵G是△ABC的外心，
∴GI⊥AI．
点评：本题考查的是三角形的内心与外心的性质，根据题意画出图形，利用数形结合求解是解答此题的关键．
练习册系列答案
相关题目
已知Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8cm，BC=6cm．则其内心和外心之间的距离是（ ）
| A、10cm | ||
| B、5cm | ||
C、
| ||
| D、2cm |
7、已知△ABC在正方形网格中的位置如图所示，则点P叫做△ABC的（ ）