题目内容
在△ABC中，已知I为内心，O为外心，AB=8，BC=6，CA=4．求证：OI⊥CI．
分析：因I是内心，故
=
=
，
=
．又因AB=8，BC=6，CA=4，所以AC+BC=2BC，故AB=2BE．由△ABE∽△ADC知AD=2DC．又DC=DI（内心性质），故AD=2DI．从而即可证明．
| AC |
| CE |
| AB |
| BE |
| AI |
| IE |
| AC+AB |
| BE |
| AB |
| BE |
解答：
证明：∵I是内心，
∴
=
=
，
=
．
又∵AB=8，BC=6，CA=4
∴AC+AB=2BC，
∴AB=2BE．由△ABE∽△ADC知AD=2DC．
又∵DC=DI（内心性质），
∴AD=2DI．
而O是外心，
∴OI⊥AI．
证明：∵I是内心，∴
| AC |
| CE |
| AB |
| BE |
| AI |
| IE |
| AC+AB |
| BC |
| AB |
| BE |
又∵AB=8，BC=6，CA=4
∴AC+AB=2BC，
∴AB=2BE．由△ABE∽△ADC知AD=2DC．
又∵DC=DI（内心性质），
∴AD=2DI．
而O是外心，
∴OI⊥AI．
点评：本题考查了相似三角形的性质与判定及三角形内切圆与内心，难度适中，关键是掌握外心与内心的性质．
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