Question

【题目】菱形ABCD的边长是4，∠ABC=120°，点M、N分别在边AD、AB上，且MN⊥AC，垂足为P，把△AMN沿MN折叠得到△AˊMN，若△AˊDC恰为等腰三角形，则AP的长为_____．

Answer 1

【答案】 或2 ﹣2．

【解析】

△A'DC恰为等腰三角形，分两种情况进行讨论：当A'D=A'C时，当CD=CA'=4时，分别通过解直角三角形，求得AA'的长，即可得到AP的长．

如图，当A’D’=AC时，∠A’DC=∠A’CD=30，

∴∠AA’D=60，

又∵∠CAD=30，

∴∠ADA’=30，

∴Rt△ADA’中，

由折叠可得，AP=；

如图，当CD=CA’=4时，连接BD交AC于O，则

再Rt△COD中，，

∴AC=，

∴，

由折叠可得， ；

故答案为：或2﹣2．