Question

如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为点M，AB=20，分别以CM、DM为直径作两个大小不同的
⊙O₁和⊙O₂，则图中阴影部分的面积为

 

（结果保留π）．

Answer 1

分析：连接CA，DA，根据垂径定理得到AM=MB=10，根据圆周角定理得到∠CAD=90°，易证Rt△MAC∽Rt△MDA，则MA²=MC•MD=100；利用S_阴影部分=S_⊙O-S_⊙1-S_⊙2和圆的面积公式进行变形可得到阴影部分的面积=

1

2

•CM•MD•π，即可计算出阴影部分的面积．

解答：解：连接CA，DA，如图，
∵AB⊥CD，AB=20，
∴AM=MB=10，
又∵CD为直径，
∴∠CAD=90°，
∴∠AMC=∠DMA=90°，
∴∠C+∠CAM=90°，∠C+∠D=90°，
∴∠CAM=∠D，
∴Rt△MAC∽Rt△MDA，
∴MA：MD=MC：MA，
∴MA²=MC•MD=100；
S_阴影部分=S_⊙O-S_⊙1-S_⊙2
=π•

1

4

CD²-π•

1

4

CM²-π•

1

4

DM²
=π[

1

4

CD²-

1

4

CM²-

1

4

（CD-CM）²]，
=π（

1

2

CM•CD-

1

2

CM²），
=

1

2

•CM•MD•π，
=50π．
故答案为：50π．

点评：本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧；也考查了圆周角定理和三角形相似的判定与性质以及圆的面积公式．