Question

设抛物线y=x2+(2a+1)x+2a+

5

4

的图象与x轴只有一个交点．
（1）求a的值；
（2）求a¹⁸+323a^-6的值．

Answer 1

分析：（1）利用函数与一元二次方程的结合点：抛物线与x轴只有一个交点等价于△=0；
（2）先利用了韦达定理，再利用了公式：a²+b²=（a+b）²-2ab，接下来用了立方和公式，提公因式，用a12+

1

a12

来表示．这种各种公式共同应用的题比较常见．

解答：解：（1）∵抛物线y=x2+(2a+1)x+2a+

5

4

的图象与x轴只有一个交点，
∴△=(2a+1)2-4×1×(2a+

5

4

)=0，
解得：a=

1± 5

2

．

（2）∵a=

1± 5

2

，
∴a是方程x²-x-1=0的根，
∴a²-a-1=0，
∵a≠0，
∴a-

1

a

=1，
a2+

1

a2

=(a-

1

a

)2+2
=3，
a4+

1

a4

=(a2+

1

a2

)2-2
=7，
a8+

1

a8

=(a4+

1

a4

)2-2
=47，
a12+

1

a12

=（a4+

1

a4

）（a8+

1

a8

-1）
=7×（47-1）
=322，
a¹⁸+323a^-6
=（a18+

1

a6

）+

322

a6

=a⁶（a12+

1

a12

）+

322

a6

=322a⁶+

322

a6

=322（a6+

1

a6

），
a6+

1

a6

=（a2+

1

a2

）（a4+

1

a4

-1）
=3×（7-1）
=18．
∴322（a6+

1

a6

）=322×18=5796．

点评：此题考查了抛物线与x轴的交点和一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），在计算中要灵活运用完全平方公式和立方和公式，计算较复杂，要注意计算能力的培养．