Question

如图，抛物线y=ax²+bx+c，顶点为C，与x轴交于A，B两点，△ABC为直角三角形，则b²-4ac=

 

．

Answer 1

考点：抛物线与x轴的交点

专题：

分析：由于抛物线与x轴有两个不同的交点，所以b²-4ac＞0；可求得线段AB的表达式，利用公式法可得到顶点C的纵坐标，进而求得斜边AB上的高（设为CD），若△ABC为等腰直角三角形，那么AB=2CD，可根据这个等量关系求出b²-4ac的值．

解答：解：如图，当△ABC为等腰直角三角形时，过C作CD⊥AB于D，则AB=2CD；
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴△＞0，
∴|b²-4ac|=b²-4ac，
∵AB=

b2-4ac

|a|

，
又∵CD=

b2-4ac

4|a|

（a≠0），
∴

b2-4ac

=

b2-4ac

2

，
即

b2-4ac

=

(b2-4ac)2 4

，
∴b²-4ac=

(b2-4ac)2

4

，
∵b²-4ac≠0，
∴b²-4ac=4．
故答案是：4．

点评：本题考查了等腰直角三角形，抛物线与x轴的交点及根与系数的关系定理，综合性较强，难度中等