Question

已知：如图，在⊙O的内接等边三角形ABC中，经过点A的弦与BC和弧分别相交于点D和P，连接PB、PC．
（1）写出图中所有的相似三角形：______；
（2）求证：PA²=BC²+PB•PC．

Answer 1

（1）解：△ADB∽△CDP，△ADC∽△BDP，△ABD∽△APB，
△ADC∽△ACP，△BDP∽△ACP，△APB∽△CPD；

（2）证明：∵△ADC∽△BDP
∴
∴AD=
∵△ADB∽△CDP
∴
∴PD=
∴PA=AD+PD=+=
∴
∵∠ABD=∠ACB=∠APB=60°
∵∠BAP=∠DAB
∴△ABD∽△APB
∴
即PA=
∴PA²=BC²+PB•PC
分析：（1）利用同弧所对的圆周角相等，证得角相等，即可证得相似三角形；
（2）利用相似三角形的性质求得即可．
点评：此题考查了圆的性质、相似三角形的判定与性质及比例变形．此题有一定难度，解题要细心．