Question

【题目】已知：如图所示，在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC是矩形，OA＝4，OC＝3，动点P从点C出发，沿射线CB方向以每秒2个单位长度的速度运动；同时，动点Q从点O出发，沿x轴正半轴方向以每秒1个单位长度的速度运动，设点P、点Q的运动时间为t（s）．

（1）当t＝1 s时，求经过点O，P，A三点的抛物线的解析式；

（2）当线段PQ与线段AB相交于点M，且BM＝2AM时，求t（s）的值；

（3）连接CQ，当点P，Q在运动过程中，记△CQP与矩形OABC重叠部分的面积为S，求S与t的函数关系式．

Answer 1

【答案】（1）；（2）t＝3；（3）．

【解析】试题分析：（1）可求得P点坐标，由O、P、A的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；

（2）用t可表示出BP和AQ的长，由可得到关于t的方程，可求得t的值；
（3）当点Q在线段OA上时， ；当点Q在线段OA上，且点P在线段CB的延长线上时，由相似三角形的性质可用t表示出AM的长，由S=S四边形BCQM=S矩形OABC-S△COQ-S△AMQ，可求得S与t的关系式；当点Q在OA的延长线上时，设CQ交AB于点M，利用可用t表示出AM，从而可表示出BM， ，可求得答案．

试题解析：（1）依题意得，A（4 ，0），B（4，3）．

当t＝1 s时，CP＝2，

设经过O、P、A三点抛物线的解析式为y＝ax（x－4），将P（2，3）代入解析式中，则有

2×（2－4）a＝3，

【一题多解】依题意得，A（4，0），B（4，3）．

当t＝1 s时，CP＝2，∴P（2，3）．

设经过O、P、A三点抛物线的解析式为y＝ax2＋bx＋c，将O，P，A三点代入得

解得：

∴抛物线的解析式为

（2）如解图①，设线段PQ与线段BA相交于点M，依题意有：CP＝2t，OQ＝t，

∴BP＝2t－4，AQ＝4－t．

∵CB∥OA，

∴△BMP∽△AMQ，

∴BP＝2AQ，即2t－4＝2（4－t），∴t＝3；

（3） 当0≤t≤2时，如解图②，

当2＜t≤4，如解图③，设线段AB与线段PQ相交于点D，过点Q作QN⊥CP于点N，则△BDP∽△NQP，

又∵NQ＝CO＝3，BP＝CP－CB＝2t－4，且NP＝CP－CN＝CP－OQ＝2t－t＝t，

∴S＝S四边形CQDB＝S△CQP－S△BDP，

③图④

当t＞4时，如解图④，设线段AB与线段CQ相交于点M，过点Q作QN⊥CP于点N，则△CBM∽△CNQ，

又∵CB＝OA＝4，CN＝OQ＝t，NQ＝3，

∴S=.