Question

已知：如图，O是△ABC的外心．∠CAE=∠B．
（1）求证：AE是⊙0的切线．
（2）当点B绕着点0顺时针旋转．使外心O恰好在BC边上或在△ABC内时，（1）中的结论是否仍然成立？请画图并证明你的判断．

Answer 1

分析：（1）如图，连接CO并延长CO交⊙O于B'，连接B'A，由于B'O、OA、OC均为⊙O半径，利用等腰三角形的性质得到∠1=∠2，∠3=∠4，接着利用三角形的内角和定理可以证明∠CAE+∠3=90°，最后利用切线的判定方法即可求解；
（2）结论成立；证明方法和（1）的思路一样．

解答：（1）证明：延长CO交⊙O于B'，连接B'A．
∵B'O、OA、OC均为⊙O半径，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
又∵∠1+∠2+∠3+∠4=180°，
∴∠1+∠4=90°，
∵∠CAE=∠1，∠3=∠4，
∴∠CAE+∠3=90°，
∴OA⊥AE，
∴AE为⊙O切线；

（2）成立．　　
证明：∵BO、AO、CO为半径，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
又∵∠1+∠2+∠3+∠4=180°，
∴∠2+∠3=90°，
∵∠1=∠2，∠1=∠CAE，
∴∠2=∠CAE，
∴∠CAE+∠3=90°，
∴OA⊥AE，
∴AE为⊙O切线．

点评：此题主要考查了切线的判定，同时也利用了圆周角定理及等腰三角形的性质，也利用了分类讨论的思想．