Question

【题目】（8分）如图，直线MN交⊙O于A，B两点，AC是直径，AD平分∠CAM交⊙O于点D，过点D作DE⊥MN于点E.

（1）求证：DE是⊙O的切线；

（2）若DE＝6cm，AE＝3cm，求⊙O的半径.

Answer 1

【答案】（1）见解析 （2）7.5cm

【解析】分析：（1）连接OD，根据平行线的判断方法与性质可得∠ODE=∠DEM=90°，且D在⊙O上，故DE是⊙O的切线．（2）由直角三角形的特殊性质，可得AD的长，又有△ACD∽△ADE．根据相似三角形的性质列出比例式，代入数据即可求得圆的半径．

本题解析：(1)证明：连接OD

∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA.∵∠OAD＝∠DAE，∴∠ODA＝∠DAE，∴DO∥MN.∵DE⊥MN，∴OD⊥DE，∴DE是⊙O的切线．

(2)解：连接CD.∵DE⊥MN，∴∠AED＝90°.在Rt△AED中，DE＝6cm，AE＝3cm，∴AD＝cm.∵AC是⊙O的直径，∴∠ADC＝∠AED＝90°.∵∠CAD＝∠DAE，∴△ACD∽△ADE，∴，即AC＝，∴AC＝15cm，∴OA＝AC＝7.5cm，即⊙O的半径是7.5cm.