Question

【题目】如图1，已知在平面直角坐标系中，点、、分别为坐标轴上的三个点，且，，．

（1）求经过、、三点的抛物线的解析式；

（2）点是抛物线上一个动点，且在直线的上方，连接、，并把沿翻折，得到四边形，那么是否存在点，使四边形为菱形？若存在，请求出此时点的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）如图2，过抛物线顶点作直线轴，交轴于点，点是抛物线上、两点间的一个动点（点不与、两点重合），直线、与直线分别交于点、，当点运动时，是否为定值？若是，试求出该定值；若不是，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在， 点的坐标为；（3）（或是定值）．

【解析】

（1）先求出点A、B、C的坐标，再用待定系数法求出抛物线的解析式即可；

（2）先设点坐标为，取中点，作，则点为所求，由此可以得到点M到y轴的距离是OB的一半，进而列出方程求解即可；

（3）过点作轴交轴与，设，由，可得以及，进而得到以及，最后用含有t的代数式分别表示出EF和EG的长，化简即可．

（1）设抛物线的解析式为，

，，、、，

方程组

解得：，，，

经过、、三点的抛物线的解析式为；

（2）存在点，使四边形为菱形．

理由为：设点坐标为，

若使四边形是菱形，则需要满足与互相垂直且平分，

取中点，作，则点为所求，，，

，

解得（不合题意，舍去），

点的坐标为；

（3）（或是定值），

理由如下：过点作轴交轴与，如图：

设，则，，

∵点D为顶点，

∴DE为对称轴，

∴CE=AE=2，

，

∴，

∴，

；

又，

∴，

，

，