Question

【题目】如图，已知一次函数y＝2x的图象与反比例函数y＝（x＞0），y＝（x＞0）的图象分别交于P，Q两点，点P为OQ的中点，Rt△ABC的直角顶点A是双曲线y＝（x＞0）上一动点，顶点B，C在双曲线y＝（x＞0）上，且两直角边均与坐标轴平行．

（1）直接写出k的值；

（2）△ABC的面积是否变化？若不变，求出△ABC的面积；若变化，请说明理由；

（3）直线y＝2x是否存在点D，使得以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，若存在，求出点A的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）8；（2）△ABC的面积不变，；（3）存在，（，）、（，）或（2，4）．

【解析】

（1）设点P（m，），Q（n，），根据P为OQ的中点，即可得出m、n之间的关系，由此即可得出k值；

（2）△ABC的面积不变，设A（a，）（a＞0），根据AB、AC与坐标轴平行找出点B、C的坐标，由此即可得出AB、AC，再根据三角形的面积公式即可得出结论；

（3）假设存在，设A（a，）（a＞0），则C（a，），B（，）．以A，B，C，D为顶点的四边形分别是以AB、AC、BC为对角线的平行四边形，根据平行四边形对角线互相平分的性质找出点D的坐标，再根据点D在直线y=2x上找出关于a的方程，解方程求出a值，将其代入A点坐标中即可得出结论．

解：（1）∵点P在反比例函数y＝（x＞0）上，点Q在反比例函数y＝（x＞0）上，

∴设点P（m，），Q（n，），

∵点P为OQ的中点，

∴n＝2m，＝2，

∴k＝8．

（2）△ABC的面积不变，

设A，则C，

令y＝中y＝，则x＝，

∴点B（，），

∴AB＝＝，AC＝﹣＝，

∴S△ABC＝ABAC＝＝．

（3）假设存在，设A，则C，B（，）．

以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形分三种情况：

①以AB为对角线，

则点D（，），即（，），

∵点span>D在y＝2x上，

∴＝2，

解得：a＝或a＝（舍去），

此时点A（，）；

②以AC为对角线，

则点D（，），即（，），

∵点D在y＝2x上，

∴＝2，

解得：a＝或a＝﹣（舍去），

此时点A（，）；

③以BC为对角线，

则点D（，），即（，），

∵点D在y＝2x上，

∴＝2，

解得：a＝2或a＝﹣2（舍去），

此时点A（2，4）．

故直线y＝2x存在点D，使得以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，点A的坐标为（，）、（，）或（2，4）.