Question

如图①，点A′，B′的坐标分别为（2，0）和（0，-4），将△A′B′O绕点O按逆时针方向旋90°转后得△ABO，点A′的对应点是点A，点B′的对应点是点B。
（1）写出A，B两点的坐标，并求出直线AB的解析式；
（2）将△ABO沿着垂直于x轴的线段CD折叠，（点C在x轴上，点D在AB上，点D不与A，B重合）如图②，使点B落在x轴上，点B的对应点为点E，设点C的坐标为（x，0），△CDE与△ABO重叠部分的面积为S。
i）试求出S与x之间的函数关系式（包括自变量x的取值范围）；
ii）当x为何值时，S的面积最大？最大值是多少？
iii）是否存在这样的点C，使得△ADE为直角三角形？若存在，直接写出点C的坐标；若不存在，请说明理由。

Answer 1

解：（1） ，
设直线AB的解析式，
则有，解得
∴直线AB的解析式为；
（2）i）①点E在原点和x轴正半轴上时，重叠部分是，
则

当E与O重合时，，
∴
②当E在x轴的负半轴上时，设DE与y轴交于点F，则重叠部分为梯形，
∴
∴
∴
又∵，
∴
∴
当点C与点O重合时，点C的坐标为，
∴
综合①②得；
ii）①当时，
∴ 对称轴是x=4，
∵抛物线开口向上，
∴在中，S随x的增大而减小，
∴当x=2时，S的最大值=，
②当时，
∴对称轴是
∵抛物线开口向下，
∴当时，S有最大值为，
∴综合①②当时，S有最大值为 
iii）存在，点C的坐标为和
详解：①当以点A为直角顶点时，作交x轴负半轴于点E，
∵
∴
∵
∴
∴点E坐标为（-1，0），
∴点C的坐标为
②当以点E为直角顶点时，同样有

∴
∴
∴点C的坐标，
综合①②知满足条件的坐标有和。