题目内容

（2013•松江区模拟）已知：点A、B都在半径为9的圆O上，P是射线OA上一点，以PB为半径的圆P与圆O相交的另一个交点为C，直线OB与圆P相交的另一个交点为D，cos∠AOB=
23

（1）求：公共弦BC的长度；
（2）如图，当点D在线段OB的延长线上时，设AP=x，BD=y，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；
（3）如果直线PD与射线CB相交于点E，且△BDE与△BPE相似，求线段AP的长．
分析：（1）先求出OP⊥BC，且BH=CH，再根据OB=9，cos∠AOB=
2
3
，求出OH，BH=3
5
，即可求出BC；
（2）作PM⊥BD，垂足为点M．得BM=DM=
1
2
y，根据cos∠AOB=
OM
OP
=
2
3
，得出
1
2
y+9
x+9
=
2
3
，通过计算得出y关于x的函数解析式为y=
4
3
x-6，定义域为x＞
9
2
．
（3）（i）当点P在OA的延长线上时，根据△BDE与△BPE相似，∠DBE=∠BPE，根据∠DBE=∠OBH，得出∠OPM=∠OBH，∠BPE=∠OPM，而∠BPM=∠DPM，则∠OPB=∠BPM=∠DPM，BM=BH，即BD=BC，再列出方程
4
3
x-6=6
5
，解得x=
9
2
5
+
9
2
，即可得出AP=
9
2
5
+
9
2
；
（ii）当点P在线段OA上时，作PN⊥BD，垂足为点N．根据△BDE与△BPE相似，得出∠BDE=∠PBE，根据∠BDP=∠DBP．得出∠PBE=∠DBP，PH=PN，BD=BC．，再根据BN=DN，ON=9-
1
2
BD，得出cos∠AOB=
9-
1
2
DB
9-AP
=
2
3
，整理，得BD=
4
3
AP+6，
4
3
AP+6=6
5
，解得AP=
9
2
5
-
9
2
．
解答：解：（1）∵圆O与圆P相交于点B、C，
∴OP⊥BC，垂足为点H，且BH=CH，
∵OB=9，cos∠AOB=
2
3
=
OH
OB
，
∴OH=6，
∴BH=3
5
，
∴BC=6
5
；

（2）如图1，作PM⊥BD，垂足为点M．
由垂径定理，得BM=DM=
1
2
y，
∴cos∠AOB=
OM
OP
=
2
3
，即
1
2
y+9
x+9
=
2
3
，
∴y关于x的函数解析式为y=
4
3
x-6，
定义域为x＞
9
2
．

（3）（i）如图2，当点P在OA的延长线上时，
则△DBE∽△BPE，
∴∠DBE=∠BPE，
∵∠DBE=∠OBH，∠OPM=∠OBH，
∴∠BPE=∠OPM，
而∠BPM=∠DPM，
∴∠OPB=∠BPM=∠DPM，
∴BM=BH，即BD=BC，
∴
4
3
x-6=6
5
，
解得x=
9
2
5
+
9
2
，即AP=
9
2
5
+
9
2
；
（ii）如图3，当点P在线段OA上时，
作PN⊥BD，垂足为点N．
则△BDE∽△PBE，
∴∠BDE=∠PBE，
∵PD=PB，
∴∠BDP=∠DBP．
∴∠PBE=∠DBP．
∴PH=PN．
∴BD=BC． 
∵BN=DN，∴ON=9-
1
2
BD，
∴cos∠AOB=
9-
1
2
DB
9-AP
=
2
3
，
整理，得BD=
4
3
AP+6，
∴
4
3
AP+6=6
5
，
解得AP=
9
2
5
-
9
2
，
综上所述，线段AP的长为
9
2
5
+
9
2
或
9
2
5
-
9
2
．
点评：此题考查了圆的综合，用到的知识点是勾股定理、垂经定理、圆的有关性质等，关键是灵活运用有关性质，根据已知条件列出方程．
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