题目内容

如图，在平面直角坐标系中，一抛物线的对称轴为直线x=1，与y轴负半轴交于C点，与x轴交于A、B两点，其中B点的坐标为（3，0），且OB=OC．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）若点G（2，y）是该抛物线上一点，点P是直线AG下方的抛物线上一动点，当点P运动到什么位置时，△APG的面积最大？求出此时P点的坐标和△APG的最大面积．
（3）若平行于x轴的直线与该抛物线交于M、N两点（其中点M在点N的右侧），在x轴上是否存在点Q，使△MNQ为等腰直角三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

解：（1）设抛物线的解析式为y=ax²+bx+c（a≠0），
由已知得：C（0，-3），A（-1，0），
∴ $\text{[math]}$ ，
解得 $\text{[math]}$ ，
∴抛物线的解析式为y=x²-2x-3，
答：抛物线的解析式为y=x²-2x-3．
（2）过点P作y轴的平行线与AG交于点F，

由y=x²-2x-3，
令x=2，则y=-3，
∴点G为（2，-3），
设直线AG为y=kx+n（k≠0），
∴ $\text{[math]}$ ，
解得 $\text{[math]}$ ，
即直线AG为y=-x-1，S_三角形APG
设P（x，x²-2x-3），则F（x，-x-1），PF=-x²+x+2，
∵S_三角形APG=S_三角形APF+S_三角形GPF
= $\text{[math]}$ •（-x²+x+2）•（x+1）+ $\text{[math]}$ •（-x²+x+2）•（2-x）
=- $\text{[math]}$ x²+ $\text{[math]}$ x+3，
∴当 $\text{[math]}$ 时，△APG的面积最大，
此时P点的坐标为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，
答：当点P运动到（ $\text{[math]}$ ，- $\text{[math]}$ ）位置时，△APG的面积最大，此时P点的坐标是（ $\text{[math]}$ ，- $\text{[math]}$ ），△APG的最大面积是 $\text{[math]}$ ．

（3）存在．

∵MN∥x轴，且M、N在抛物线上，
∴M、N关于直线x=1对称，
设点M为（m，m²-2m-3）且m＞1，
∴MN=2（m-1），
当∠QMN=90°，且MN=MQ时，
△MNQ为等腰直角三角形，
∴MQ⊥MN即MQ⊥x轴，
∴2（m-1）=|m²-2m-3|，
即2（m-1）=m²-2m-3或2（m-1）=-（m²-2m-3），
解得 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ （舍）或 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ （舍），
∴点M为（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）或（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ），
∴点Q为（ $\text{[math]}$ ，0）或（ $\text{[math]}$ ，0），
当∠QNM=90°，且MN=NQ时，△MNQ为等腰直角三角形，
同理可求点Q为（- $\text{[math]}$ ，0）或（ $\text{[math]}$ ，0），
当∠NQM=90°，且MQ=NQ时，△MNQ为等腰直角三角形，
过Q作QE⊥MN于点E，则QE= $\text{[math]}$ MN= $\text{[math]}$ ，
∵方程有解
∴由抛物线及等腰直角三角形的轴对称性，
知点Q为（1，0），
综上所述，满足存在满足条件的点Q，分别为（- $\text{[math]}$ ，0）或（ $\text{[math]}$ ，0）或
（ $\text{[math]}$ ，0）或（ $\text{[math]}$ ，0）或（1，0），
答：存在，点Q的坐标分别为（- $\text{[math]}$ ，0）或（ $\text{[math]}$ ，0）或（ $\text{[math]}$ ，0）或（ $\text{[math]}$ ，0）或（1，0）．
分析：（1）设抛物线的解析式为y=ax²+bx+c（a≠0），根据已知得到C（0，-3），A（-1，0），代入得到方程组 $\text{[math]}$ ，求出方程组的解即可；
（2）过点P作y轴的平行线与AG交于点F，求出点G的坐标（2，-3），设直线AG为y=kx+n（k≠0），代入得到 $\text{[math]}$ ，求出方程组的解得出直线AG为y=-x-1，设P（x，x²-2x-3），则F（x，-x-1），PF=-x²+x+2，根据三角形的面积公式求出△APG的面积，化成顶点式即可；
（3）存在．根据MN∥x轴，且M、N在抛物线上，得到M、N关于直线x=1对称，设点M为（m，m²-2m-3）且m＞1，得到MN=2（m-1），当∠QMN=90°，且MN=MQ时，由△MNQ为等腰直角三角形，得到2（m-1）=|m²-2m-3|，求出m的值，得出点M和点Q的坐标；当∠QNM=90°，且MN=NQ时，同理可求点Q的坐标，当∠NQM=90°，且MQ=NQ时，过Q作QE⊥MN于点E，则QE= $\text{[math]}$ MN，根据抛物线及等腰直角三角形的轴对称性，得到点Q的坐标．
点评：本题主要考查对用待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的三种形式，二次函数的最值，解二元一次方程组，三角形的面积，等腰直角三角形的性质等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行计算是解此题的关键．题型较好，难度适中．