Question

如图，△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AC=1，过点C作CD₁⊥AB于D₁，过点D₁作D₁D₂⊥BC于D₂，过点D₂作D₂D₃⊥AB于D₃，这样继续作下去，线段D_nD_n+1（n为整数）等于

 

．

Answer 1

分析：由∠ACB=90°，∠B=30°，根据三角形的内角和定理求出∠A=60°，由CD₁⊥AB求出∠ACD₁=30°，在直角三角形中，由AC的长为1，利用30°的余弦函数定义即可求出CD₁，同理在△CD₁D₂中，求出D₁D₂的长，以此类推，找出规律即可表示出线段D_nD_n+1的长．

解答：解：根据∠ACB=90°，∠B=30°，得到∠A=60°，
∵CD₁⊥AB，∴∠ACD₁=30°，
在△ACD₁中，∠AD₁C=90°，AC=1，
则CD₁=

3

2

；
进而在△CD₁D₂中，
有D₁D₂=

3

2

CD₁=（

3

2

）²，
进而可得：D₂D₃=（

3

2

）³，…；
则线段D_nD_n+1=（

3

2

）ⁿ⁺¹．
故答案为：(

3

2

)n+1

点评：本题考查了锐角三角形函数，以及含30度角的直角三角形的性质，是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，从中探索出规律，找出一类问题的共性，从而使类似的问题得以解决．