题目内容

如图，在直角坐标系中，矩形ABCD的四个顶点在正三角形OEF的边上．已知正三角形OEF的边长为2，记AB的长为x．
（1）求F点的坐标及过O、E、F三点的抛物线的解析式．
（2）记点C关于直线OF的对称点为G，问x取什么值时，点G恰好落在y轴上．
（3）在条件（2）下，点P是过O、E、F三点的抛物线上的一个动点P，问是否存在点P，使点P、A、F、G四点构成梯形？如存在，求出点P的坐标；如不存在，请说明理由．

解：（1）如图，过点F作FH⊥OE于点H，
∵正三角形OEF的边长为2，
∴OH= $\text{[math]}$ ×2=1，
FH=2•sin60°=2× $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴点F的坐标为F（1， $\text{[math]}$ ），
又由图形可得，点O（0，0），E（2，0），
设过O、E、F三点的抛物线的解析式为y=ax²+bx+c，
则 $\text{[math]}$ ，
解得 $\text{[math]}$ ，
所以，抛物线的解析式y=- $\text{[math]}$ x²+2 $\text{[math]}$ x；

（2）方法一：根据对称性可得OB=OH+ $\text{[math]}$ AB=1+ $\text{[math]}$ x，
在矩形ABCD中，AB∥CD，
所以，△FDC∽△FOE，
所以， $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
即 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
解得BC= $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ x，
所以，点C的坐标为（1+ $\text{[math]}$ x， $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ x），
∵△OEF是等边三角形，
∴OF与y轴的夹角为30°，
∵点C关于直线OF的对称点G恰好落在y轴上，
∴OC与OF的夹角为30°，
∴直线OC与x轴的夹角为30，
tan30°= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
解得x=1；

方法二：∵△OEF是等边三角形，
∴OF与y轴的夹角为30°，
∵点C关于直线OF的对称点G恰好落在y轴上，
∴OC与OF的夹角为30°，
∵△OEF是等边三角形，
∴点C是EF的中点，
∴CD是△OEF的中位线，
CD= $\text{[math]}$ OE= $\text{[math]}$ ×2=1，

∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD=1，即x=1；

（3）存在．
理由如下：由（2）可知，OC=2•sin60°=2× $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∵点C、G关于OF对称，
∴OG=OC= $\text{[math]}$ ，
∴点G的坐标为（0， $\text{[math]}$ ），
由对称性可得，OA= $\text{[math]}$ （OE-AB）= $\text{[math]}$ （2-1）= $\text{[math]}$ ，
∴点A的坐标为（ $\text{[math]}$ ，0），
①当GF∥PA 时，∵F（1， $\text{[math]}$ ），
∴GF∥x轴，
∴点P为抛物线与x轴的交点，
∴P₁（0，0），P₂（2，0）；
②当GA∥PF时，∵A（ $\text{[math]}$ ，0），G（0， $\text{[math]}$ ），
∴直线GA的解析式为y=-2 $\text{[math]}$ x+ $\text{[math]}$ ，
∴设直线PF的解析式为y=-2 $\text{[math]}$ x+b，
-2 $\text{[math]}$ ×1+b= $\text{[math]}$ ，
解得b=3 $\text{[math]}$ ，
所以，直线PF的解析式为y=-2 $\text{[math]}$ x+3 $\text{[math]}$ ，
联立 $\text{[math]}$ ，
解得 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$
所以，点P的坐标为P₃（3，-3 $\text{[math]}$ ）；
③当PG∥AF时，A（ $\text{[math]}$ ，0），F（1， $\text{[math]}$ ），
设直线AF的解析式为y=mx+n，
则 $\text{[math]}$ ，
解得 $\text{[math]}$ ，
所以，直线AF的解析式为y=2 $\text{[math]}$ x- $\text{[math]}$ ，
所以，设直线PG的解析式为y=2 $\text{[math]}$ x+ $\text{[math]}$ ，
联立 $\text{[math]}$ 整理得，x²+1=0，
方程没有实数解，
所以，点P不存在，
综上得符合条件的点有3个，P₁（0，0），P₂（2，0），P₃（3，-3 $\text{[math]}$ ）．
分析：（1）过点F作FH⊥OE于点H，根据等边三角形的性质求出HO、HF的长度，然后即可写出点F的坐标；再写出点O、E的坐标，然后利用待定系数法求二次函数解析式解答；
（2）方法一根据轴对称性表示出OB的长度，再根据相似三角形对应高的比等于对应边的比列式求出BC的长度，得到点C的坐标，然后求出OF与y轴的夹角为30°，再根据对称性可得∠FOC=30°，从而得到OC与x轴的夹角为30°，根据30°角的正切值列式求解即可得到x的值；
方法二：先求出OF与y轴的夹角为30°，再根据轴对称性可得OC与OF的夹角为30°，然后根据等边三角形的性质可得点C是EF的中点，根据三角形的中位线定理可得CD= $\text{[math]}$ OE=1，再根据矩形的对边相等即可得解；
（3）根据点C、G关于OF对称可得OG=OC，然后求出点G的坐标，在求出OA的长度得到点A的坐标，然后分①GF∥PA时，点P是抛物线与x轴的交点，即为点O、E的坐标，②GA∥PF时，先求出直线GA的解析式，再根据互相平行的两直线的解析式的k值相等求出直线PF的解析式，与抛物线解析式联立求解即可得到点P的坐标；③PG∥FA时，先求出AF的解析式，再根据互相平行的两直线的解析式的k值相等求出直线PG的解析式，与抛物线解析式联立可得方程没有实数解．
点评：本题综合考查了二次函数的问题，主要利用了等边三角形的性质，待定系数法求二次函数解析式，相似三角形的判定与性质，轴对称的性质，梯形的两底边平行，（3）要注意根据底边的不同分情况讨论求解．