Question

【题目】如图，已知正方形ABCD的边长为3，E、F分别是AB、BC边上的点，且∠EDF=45°，将△DAE绕点D逆时针旋转90°，得到△DCM．若AE=1，求EF的长．

Answer 1

【答案】.

【解析】

先根据SAS证明△DEF≌△DMF，得EF＝MF，再设EF＝MF＝x，分别表示出BE和BF，然后在Rt△BEF中根据勾股定理列出关于x的方程，解方程即得结果.

解：∵△DAE逆时针旋转90°得到△DCM，

∴∠FCM＝∠FCD＋∠DCM＝180°，

∴F，C，M三点共线，

∴DE＝DM，∠EDM＝90°，

∴∠EDF＋∠FDM＝90°，

∵∠EDF＝45°，

∴∠FDM＝∠EDF＝45°，

在△DEF和△DMF中，

∴△DEF≌△DMF(SAS)，

∴EF＝MF，设EF＝MF＝x，

∵AE＝CM＝1，且BC＝3，

∴EB＝AB－AE＝3－1＝2，BM＝BC＋CM＝3＋1＝4，

∴BF＝BM－MF＝4－x，

在Rt△EBF中，由勾股定理得：EB2＋BF2＝EF2，即22＋(4－x)2＝x2，

解得x＝，即EF＝.