Question

如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BA＝BC．点D是AB的中点，连接CD，过点B作BG丄CD，分别交GD、CA于点E、F，与过点A且垂直于的直线相交于点G，连接DF．给出以下四个结论：①；②点F是GE的中点；③AF＝AB；④S_△ABC＝S_△BDF，其中正确的结论序号是________．

Answer 1

答案：①③
解析：

分析：首先根据题意易证得△AFG∽△CFB，根据相似三角形的对应边成比例与BA＝BC，继而证得正确；由点D是AB的中点，易证得BC＝2BD，由等角的余角相等，可得∠DBE＝∠BCD，即可得AG＝AB，继而可得FG＝BF；即可得AF＝AC，又由等腰直角三角形的性质，可得AC＝AB，即可求得AF＝AB；则可得S△ABC＝6S△BDF． 　　解答：解：∵在Rt△ABC中，∠ABC＝90°， 　　∴AB⊥BC，AG⊥AB， 　　∴AG∥BC， 　　∴△AFG∽△CFB， 　　∴， 　　∵BA＝BC， 　　∴， 　　故①正确； 　　∵∠ABC＝90°，BG⊥CD， 　　∴∠DBE＋∠BDE＝∠BDE＋∠BCD＝90°， 　　∴∠DBE＝∠BCD， 　　∵AB＝CB，点D是AB的中点， 　　∴BD＝AB＝CB， 　　∵tan∠BCD＝＝， 　　∴在Rt△ABG中，tan∠DBE＝＝， 　　∵， 　　∴FG＝FB， 　　故②错误； 　　∵△AFG∽△CFB， 　　∴AF：CF＝AG：BC＝1：2， 　　∴AF＝AC， 　　∵AC＝AB， 　　∴AF＝AB， 　　故③正确； 　　∵BD＝AB，AF＝AC， 　　∴S△ABC＝6S△BDF， 　　故④错误． 　　点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、直角三角形的性质以及三角函数等知识．此题难度适中，解题的关键是证得△AFG∽△CFB，注意掌握数形结合思想与转化思想的应用．

提示：

相似三角形的判定与性质；勾股定理；等腰直角三角形．