Question

如图，在直角坐标系中，△OBA∽△DOC，边OA、OC都在x轴的正半轴上，∠BAO=∠OCD=90°，OB=10，OA=6，OD=5．反比例函数y=

12

x

（x＞0）的图象经过点D，交AB边于点E，交OB边于点F．
（1）分别求出点E、D的坐标；
（2）求以O、D、F为顶点的△ODF的面积．

Answer 1

考点：反比例函数综合题

专题：

分析：（1）根据已知相似三角形的对应边成比例易求DC=3．然后由反比例图象上点的坐标特征易求点D、E的坐标；
（2）由反比例函数系数k的几何意义得到S_△OFG=S_△ODC．由图示知，S_△ODF=S_△OFG+S_梯形FGCD-S_△OCD=S_梯形FGCD．

解答：解：（1）如图，∵△OBA∽△DOC，OB=10，OA=6，OD=5，
∴OB：DO=OA：DC，即10：5=6：DC，
则DC=3．
又∵反比例函数y=

12

x

（x＞0）的图象经过点D，∠OCD=90°，
∴D（4，3）．
又∵A（6，0），∠BAO=90°，点E在反比例函数y=

12

x

（x＞0）的图象上，
∴易求E（6，2）；

（2）如图，连接FD，过点F作FG⊥x轴于G．
∵OA=6，OB=10，
∴在直角△AOB中，由勾股定理得到：AB=

OB2-OA2

=8．
∴B（6，8）．
易求直线OB的解析式为y=

4

3

x．
则

y= 4 3 x y= 12 x

，
解得，

x=3 y=4

或

x=-3 y=-4

（不合题意，舍去），
∴F（3，4）．
∵点F、D都在反比例函数y=

12

x

（x＞0）的图象上，
∴S_△OFG=S_△ODC．
由图示知，S_△ODF=S_△OFG+S_梯形FGCD-S_△OCD=S_梯形FGCD=

1

2

（DC+FG）•CG=

1

2

×（3+4）×1=

7

2

，即以O、D、F为顶点的△ODF的面积是

7

2

．

点评：本题考查了反比例函数综合题．其中涉及到的知识点有反比例函数图象上点的坐标特征，相似三角形的性质，正比例函数与反比例函数的交点以及反比例函数系数k的几何意义．解答（2）题时，利用了“分割法”求得以O、D、F为顶点的△ODF的面积．