Question

15．如图，点A的坐标为（0，$\sqrt{3}$），△AOB是等边三角形，AC⊥AB，直线AC与x轴和直线OB分别相交于点C和点D，双曲线y=$\frac{k}{x}$经过点B．
（1）求k的值；
（2）求直线AC的解析式．

Answer 1

分析 （1）过点B作BE⊥y轴于点E，利用等边三角形的性质可找出点B的坐标，根据点B的坐标结合反比例函数图象上点的坐标特点即可得出k值；
（2）由△AOB是等边三角形得出∠OAB=60°，根据AC⊥AB可得出∠CAO=30°，通过解直角三角形即可找出点C的坐标，由点A、点C的坐标利用待定系数法求函数解析式即可得出结论．

解答 解：（1）过点B作BE⊥y轴于点E，如图所示．

∵△AOB是等边三角形，且点A的坐标为（0，$\sqrt{3}$），
∴OE=$\frac{1}{2}$OA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，BE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$OA=$\frac{3}{2}$，
∴点B的坐标为（$\frac{3}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），
∴k=$\frac{3}{2}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{3\sqrt{3}}{4}$．
（2）∵△AOB是等边三角形，
∴∠OAB=60°．
又∵AC⊥AB，
∴∠CAO=∠CAB-∠OAB=30°．
在Rt△AOC中，OA=$\sqrt{3}$，∠CAO=30°，∠AOC=90°，
∴OC=OA•tan∠CAO=1，
∴点C的坐标为（-1，0）．
设直线AC的解析式为y=ax+b，
将点A（0，$\sqrt{3}$）、点C（-1，0）代入y=ax+b中，得$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{3}=b}\\{0=-k+b}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-\sqrt{3}}\\{b=\sqrt{3}}\end{array}\right.$．
∴直线AC的解析式为y=-$\sqrt{3}$x+$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了反比例函数与一次函数交点的问题、待定系数法求函数解析式、等边三角形的性质以及解直角三角形，解题的关键是：（1）求出点B的坐标；（2）求出点C的坐标．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据等边三角形的性质通过解直角三角形找出点的坐标，再结合点的坐标利用待定系数法求出函数解析式即可．