Question

如图，直线AB过x轴上的点A（2，0），且与抛物线y=ax²相交于B、C两点，已知点B的坐标是（1，1），
（1）求直线AB和抛物线所表示的函数解析式；
（2）如果在第一象限，抛物线上有一点D，使得S_△OAD=S_△OBC，求这时D点坐标．

Answer 1

分析：（1）将A、B两点坐标代入y=kx+b中，可求直线解析式，将B点坐标代入y=ax²中，可求抛物线解析式；
（2）联立直线与抛物线解析式，可求C点坐标，用S_△OBC=S_△OCA-S_△OBA，可求△OAD的面积，又已知OA，可求D点的纵坐标．

解答：解：（1）设直线AB所表示的函数解析式为y=kx+b，
∵它过点A（2，0）和点B（1，1），
∴

2k+b=0 k+b=1

，
解得

k=-1 b=2

，
∴直线AB所表示的函数解析式为y=-x+2，
∵抛物线y=ax²过点B（1，1），
∴a×1²=1，
解得a=1，
∴抛物线所表示的函数解析式为y=x²；

（2）解方程组

y=-x+2 y=x2

，
得

x1=-2 y1=4

，

x2=1 y2=1

，
∴C点坐标为（-2，4）；
又B点坐标为（1，1），A点坐标为（2，0），
∴OA=2，
S△OAC=

1

2

×2×4=4，
S△OAB=

1

2

×2×1=1，
∴S_△OBC=S_△OAC-S_△OAB=4-1=3，
设D点的纵坐标为y_D，
则S_△OAD=

1

2

×OA×|y_D|=

1

2

×2×y_D=3，
把y=3代入y=x²，
得x=±

3

，
又∵点D在第一象限，
∴xD=

3

，
∴D点坐标为（

3

，3）．

点评：本题考查了一次函数、二次函数解析式的求法，两个函数图象交点坐标的求法，以及坐标系中面积的表示方法．