题目内容
(2000•兰州)如图,直线AB过x轴上的点A(2,0),且与抛物线y=ax2相交于B、C两点,已知点B的坐标是(1,1),(1)求直线AB和抛物线所表示的函数解析式;
(2)如果在第一象限,抛物线上有一点D,使得S△OAD=S△OBC,求这时D点坐标.
【答案】分析:(1)将A、B两点坐标代入y=kx+b中,可求直线解析式,将B点坐标代入y=ax2中,可求抛物线解析式;
(2)联立直线与抛物线解析式,可求C点坐标,用S△OBC=S△OCA-S△OBA,可求△OAD的面积,又已知OA,可求D点的纵坐标.
解答:解:(1)设直线AB所表示的函数解析式为y=kx+b,
∵它过点A(2,0)和点B(1,1),
∴,
解得,
∴直线AB所表示的函数解析式为y=-x+2,
∵抛物线y=ax2过点B(1,1),
∴a×12=1,
解得a=1,
∴抛物线所表示的函数解析式为y=x2;
(2)解方程组,
得,,
∴C点坐标为(-2,4);
又B点坐标为(1,1),A点坐标为(2,0),
∴OA=2,
,
,
∴S△OBC=S△OAC-S△OAB=4-1=3,
设D点的纵坐标为yD,
则S△OAD=×OA×|yD|=×2×yD=3,
把y=3代入y=x2,
得,
又∵点D在第一象限,
∴,
∴D点坐标为(,3).
点评:本题考查了一次函数、二次函数解析式的求法,两个函数图象交点坐标的求法,以及坐标系中面积的表示方法.
(2)联立直线与抛物线解析式,可求C点坐标,用S△OBC=S△OCA-S△OBA,可求△OAD的面积,又已知OA,可求D点的纵坐标.
解答:解:(1)设直线AB所表示的函数解析式为y=kx+b,
∵它过点A(2,0)和点B(1,1),
∴,
解得,
∴直线AB所表示的函数解析式为y=-x+2,
∵抛物线y=ax2过点B(1,1),
∴a×12=1,
解得a=1,
∴抛物线所表示的函数解析式为y=x2;
(2)解方程组,
得,,
∴C点坐标为(-2,4);
又B点坐标为(1,1),A点坐标为(2,0),
∴OA=2,
,
,
∴S△OBC=S△OAC-S△OAB=4-1=3,
设D点的纵坐标为yD,
则S△OAD=×OA×|yD|=×2×yD=3,
把y=3代入y=x2,
得,
又∵点D在第一象限,
∴,
∴D点坐标为(,3).
点评:本题考查了一次函数、二次函数解析式的求法,两个函数图象交点坐标的求法,以及坐标系中面积的表示方法.
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