Question

如图，直线AB过x轴上的点A（2，0），且与抛物线y=ax²相交于B、C两点，B点坐标为（1，1）．
（1）求直线和抛物线所表示的函数表达式；
（2）在抛物线上是否存在一点D，使得S_△OAD=S_△OBC？若不存在，说明理由；若存在，请求出点D的坐标，与同伴交流．

Answer 1

分析：（1）已知直线AB经过A（2，0），B（1，1），设直线表达式为y=ax+b，可求直线解析式；将B（1，1）代入抛物线y=ax²可求抛物线解析式；
（2）已知A，B，C三点坐标，根据作差法可求△OBC的面积，在△DOA中，已知面积和底OA，可求OA上的高，即D点纵坐标，代入抛物线解析式求横坐标，得出D点坐标．

解答：解：（1）设直线表达式为y=ax+b．
∵A（2，0），B（1，1）都在y=ax+b的图象上，
∴

0=2a+b 1=a+b

．
∴直线AB的表达式y=-x+2．
∵点B（1，1）在y=ax²的图象上，
∴a=1，其表达式为y=x²．

（2）∵

y=x2 y=-x+2

，
解得

x=-2 y=4

或

x=1 y=1

，
∴点C坐标为（-2，4），设D（a，a²）．
∴S_△OAD=

1

2

|OA|•|y_D|=

1

2

×2•a²=a²．
∴S_△BOC=S_△AOC-S_△OAB=

1

2

×2×4-

1

2

×2×1=3．
∵S_△BOC=S_△OAD，
∴a²=3，
即a=±

3

．
∴D点坐标为（

3

，3），（-

3

，3）．

点评：本题考查了一次函数、二次函数解析式的求法，要求会用点的坐标表示三角形的面积，从而求出符合条件的点坐标．